- 高等数学(上册)学习指导
- 叶海江 马辉主编
- 1162字
- 2022-11-07 19:02:50
第二节 极限的概念
一、内容提要
1.数列的极限
(1)数列的定义
如果按照某一法则,对每个n∈N+,对应着一个确定的实数xn,这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列x 1,x2,x 3,…,xn,…就叫作数列
数列中的每一个数叫作数列的项,第n项x n叫作数列的一般项.
(2)数列极限的定义
设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|x n-a|<ε都成立,那么就称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为
2.函数的极限
(1)自变量趋于有限值时函数的极限
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得对于满足不等式0<|x-x 0|<δ的一切x,总有|f(x)-A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x→x 0时的极限.记作
设函数f(x)在点x0的左邻域(或右邻域)内有定义,在x0处可以没有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得对于满足不等式x 0-δ<x<x 0(或x 0<x<x 0+δ)的一切x,总有|f(x)-A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x趋于x 0时的左(或右)极限.记作
左极限和右极限统称为单侧极限.
(2)自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数X,使得对于满足不等式|x|>X的一切x,总有|f(x)-A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限.记作
设函数f(x)当x>X(x<-X)时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数X,使得对于满足不等式x>X(x<-X)的一切x,总有|f(x)-A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x→+∞(x→-∞)时的极限.记作f(x)=A)).
二、基本要求
掌握数列极限和函数极限的定义和性质,重点掌握左、右极限的定义及用左、右极限求函数的极限.
三、疑难解析
证 分三种情况讨论.
(1)当a=1时,命题显然成立.
四、典型范例
题型1 用极限定义证明极限
证 对任意ε>0,考察,因为x在5附近变
化,不妨令|x-5|<1,即4<x<6,于是
即|x-5|<90ε,取δ=min{90ε,1},则当0<|x-5|<δ时,恒有|f(x)-A|<ε故
题型2 用左、右极限讨论函数的极限
解 左、右极限法.因为
五、习题选解
1.观察如下数列{xn}一般项x n的变化趋势,写出它们的极限.
解 (1)0;(2)0;
(3)2;(4)发散.
2.根据数列极限的定义证明:
3.设数列
证 因为数列有界,所以存在M>0,使得|xn|≤M.
又,则对任意ε>0,存在N,当n>N时,
所以对上述ε>0和N,当n>N时,
4.根据函数极限的定义证明: