第一章 函数与极限

第一节　函数

一、内容提要

1．集合

（1）集合与元素

一般地，把具有某种性质的对象的全体称为集合．其中的对象称为集合的元素．若元素a是集合A的元素，则记为a∈A；若元素a不是集合A的元素，则记为a∈A．

（2）集合的分类

集合按元素多少分有限集和无限集；不含任何元素的集合称为空集．

（3）集合的表示法

集合的表示法有两种：列举法和描述法．

习惯上，我们用N表示自然数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集．

（4）集合之间的关系

设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A＞B（读作A包含于B）或B＜A（读作B包含A）．如果集合A与集合B互为子集，即A＞B 且B＞A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B．

（5）集合的基本运算

设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作A∪B，即A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝；设A、B是两个集合，由所有属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作A∩B，即A∩B＝｛x｜x∈A且 x∈B｝；设A、B是两个集合，由所有属于A又不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A－B，即A－B＝｛x｜x∈A且x∈B｝．由所研究的所有对象构成的集合称为全集，记为I．称I－A为A的余集或补集，记为－A．

2．区间和邻域

（1）区间

设a和b都是实数，且a＜b．

（2）邻域

开区间（a－δ，a＋δ）就是以点a为中心，δ为半径的邻域，记作U（a，δ）；若把邻域U（a，δ）的中心去掉，所得到的邻域称为点a的去心δ邻域，记作U°（a，δ），即U°（a，δ）＝｛0＜｜x－a｜＜δ｝；开区间（a－δ，a）和（a，a＋δ）分别称为点a的左邻域和右邻域．

3．函数的概念

（1）映射的定义

设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X→Y，其中y称为元素x的像，并记作f（x），即y＝f（x）．

（2）函数的定义

设数集D＞R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常记为y＝f（x），x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．函数值f（x）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作R．

显然，只要定义域和对应关系确定了，值域也就随之确定，故定义域和对应关系是确定函数的两个要素．

表示函数的主要方法有图示法、表格法和公式法．

（3）分段函数

我们把在不同的定义域上用不同的表达式来表示对应法则的函数称为分段表示的函数，简称为分段函数．例如绝对值函数y＝｜x｜，符号函数y＝sgn x及取整函数y＝［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数．

4．函数的几种特性

（1）函数的有界性

设函数f（x）的定义域为D，数集X＞D，若存在一个正数M，使得对一切x∈X，恒有｜f（x）｜≤M，则称函数f（x）在X上有界，或称f（x）是X上的有界函数．若这样的M不存在，则称函数f（x）在X上无界．

（2）函数的单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I＞D，如果对于区间I任意两点x ₁及x₂，当x₁＜x₂时，恒有f（x ₁）＜f（x ₂）（f（x ₁）＞f（x ₂）），则称函数f（x）在区间I上是单调增加函数（单调减少函数）．

（3）函数的奇偶性

设函数f（x）的定义域D关于原点对称．如果对于任意x∈D，f（－x）＝f（x）恒成立，则称f（x）为偶函数．如果对于任意x∈D，f（－x）＝－f（x）恒成立，则称f（x）为奇函数．

偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的．

两个偶（奇）函数之和仍为偶（奇）函数；两个偶（奇）函数之积仍为偶函数；奇函数与偶函数之积为奇函数．

（4）函数的周期性

设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任意x∈D有（x±l）∈D，且f（x＋l）＝f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，l称为f（x）的周期．通常周期函数的周期指的是最小正周期．

5．反函数

设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射f－1：f（D）→D，称此映射f－1为函数f的反函数．按此定义，对每个y∈f（D），有唯一的x∈D，使得f（x）＝y，于是有x＝f－1（y）．通常都把x作为自变量，y作为因变量．因此可记为y＝f－1（x），x∈f（D）．

函数y＝f（x）的图形与它的反函数y＝f－1（x）的图形关于直线y＝x对称．

若函数f在D上是单调增加（或单调减少）的函数，则它在D上是一对一的函数，从而f在D上有反函数，单调增加（或单调减少）函数的反函数也是单调增加（或单调减少）的．

6．复合函数及初等函数

（1）复合函数

设函数y＝f（u）的定义域为D _f，函数u＝g（x）的定义域为D_g，且其值域R_g＞D _f，则由下式确定的函数y＝f［g（x）］，x∈D_g，称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为D_g，变量u称为中间变量．通常记为f°g，即（f°g）（x）＝f［g（x）］．

（2）初等函数

在初等数学中已经讲过下面几类函数：

幂函数：y＝xμ（μ∈R是常数）；

指数函数：y＝ax（a＞0且a≠1）；

对数函数：

三角函数：如y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x，y＝cot x等；

反三角函数：如y＝arcsin x，y＝arccos x，y＝arctan x，y＝arc cot x等．

以上这五类函数统称为基本初等函数．

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．

7．简单的经济函数

（1）需求函数

一种商品的市场需求量D与该商品的价格p密切相关，涨价需求量减少，降价需求量增加．因此，需求量D可看成价格p的单调减少函数，D＝f（p）称为需求函数．

（2）供给函数

一种商品的市场供给量Q与该商品的价格p密切相关，价格上涨供给量增加，价格下跌供给量减少．因此，供给量Q是价格p的单调增加函数，Q＝f（p）称为供给函数．

最简单的需求函数和供给函数为线性需求函数与线性供给函数D＝a－bp，Q＝－c＋dp，其中a，b，c，d为正的常数．

（3）总收入函数

若单位产品的售价为p，销售量为x，则总收入函数R（x）＝px．

（4）总成本函数

生产x单位的产品，其总成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本与产量x无关，而可变成本产量x的增函数．生产x单位的产品的平均成本为－Cx＝C（x）／x，C（x）为总成本．

（5）总利润函数

若销售量即是生产量，则生产x单位的产品的总利润等于总收入减去总成本，即L（x）＝R（x）－C（x）．

二、基本要求

复习函数的相关概念和性质，掌握函数定义域的求法，重点掌握反函数的定义和求法及复合函数的定义和求法．

三、疑难解析

四、典型范例

题型1　求定义域

解　在实数范围内，当有意义；当5－x＞0时，ln（5－x）有意义．因此，所给函数的定义域必须同时满足x≥2，x≠3，x＜5．解之得到定义域

题型2　求反函数

例2　求下列函数的反函数．

题型3　经济问题中的函数

例3　某厂生产某种商品的最高日产量为100t，固定成本为130万元，每生产1t，成本增加6万元．试求该厂日产量的总成本函数和平均成本函数．

解　设日产量为x（单位：t）总成本函数为C（x）（单位：万元），则依题设有

而平均成本函数为

例4　某厂生产某种产品，销售量在100件以内时，每件价格为150元；超过100件到200件的部分按九折出售；超过200件的部分按八五折出售．试求该产品的总收入函数．

解　设q表示销售量（单位：件），则依题设可知，总收入函数为

五、习题选解

1．求下列函数的定义域：

4．试证下列函数在指定区间内的单调性：

证　（1）对任意x ₁＜x ₂，

所以此函数在（－∞，1）单调增加．

（2）对任意x ₁＜x ₂，

所以此函数在（－∞，1）单调增加．

5．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些即非奇函数也非偶函数？

解　（1）非奇函数也非偶函数．，所以此函数为奇函数．

（3）奇函数．

6．下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

7．求下列函数的反函数：

解　（1）由解得x＝y 3－1，所以的反函数

（2）由y＝1＋ln（x＋2）解得x＝e y－1－2，所以y＝1＋ln（x＋2）的反函数y＝e x－1－2，x∈R；

8．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数：

9．设f（x）的定义域为D＝［0，1］，求下列函数的定义域：

（1）y＝f（sin x）；（2）y＝f（x 2）．

（2）x∈［－1，1］．

10．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元．

（1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

（2）将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；

（3）某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少？