- 高等数学(上册)学习指导
- 叶海江 马辉主编
- 1192字
- 2022-11-07 19:02:50
第三节 极限的运算法则和性质
一、内容提要
1.极限的运算法则
注 (1)法则(1)、(2)均可推广到有限个函数的情形.
(2)定理1中的x→x 0可以换成x→∞.
(3)对于数列也有同样的运算法则.
推论1 如果存在,而C为常数,则
推论2 如果存在,而n是正整数,则
定理2(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点x 0的某去心邻域内有定义,若,且存在δ0>0,当
2.极限的性质
(1)收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列收敛,那么它的极限唯一.
定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界.
定理3(收敛数列的保号性) 如果,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0(或xn<0).
推论 如果数列从某项起有x n≥0(或xn≤0),且,则a≥0(或a≤0).
*定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列收敛于a,那么它的任意子数列也收敛,且极限也是a.
(2)函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性) 如果存在,那么这极限唯一.
定理2(函数极限的局部有界性) 如果,那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x-x 0|<δ时,有|f(x)|<M.
定理3(函数极限的局部保号性) 如果,且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0,使得当0<|x-x 0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0).
推论 如果在x 0的某去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且,那么A≥0(或A≤0).
二、基本要求
掌握极限的性质及运算法则,重点掌握用极限的运算法则求数列和函数的极限.
三、疑难解析
解 分子、分母同除以最高次项x4,得
一般地,当a0≠0,b0≠0,m和n为非负整数时
四、典型范例
题型1 用运算法则求函数的极限
解 约去零因式法
解 有理化法
解 分子、分母同除以最高次项x3
题型2 根据函数的极限值求未知系数或未知函数表达式
例5 设p(x)是多项式,且
解 因为,所以可设p(x)=x 3+2x 2+ax+b,又因为,所
以p(x)~x(x→0),从而得b=0,a=1,故p(x)=x 3+2x 2+x.
解 因为,所以必须有,即1+a+b=0,将b=-1-a代入原式,得
故a=1,b=-2.
五、习题选解
1.计算下列极限:
证 用反证法.假设f(x)同时有两个不同的极限a和b,且a<b.取因为,故存在δ1>0,使得当0<|x-x 0|<δ1时,不等式
都成立.同理,因为,故存在δ2>0,使得当0<|x-x 0|<δ2时,不等式
都成立.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x-x 0|<δ时,上述两个不等式同时成立,于是有f(x)<,同时,这是不可能的.这一矛盾表明只能有a=b.
3.下列陈述中,哪些是对的,哪些是错的?如果是对的,说明理由;如果是错的,试给出一个反例.
(2)错,例如f(x)=sgn x,g(x)=-sgn x,当x→0时的极限都不存在,但f(x)+g(x)≡0,当x→0时的极限存在.