2.2 正弦交流电路中的电阻、电感和电容

正弦交流电路中，电阻、电感和电容的伏安关系与直流电路中有所不同。

2.2.1 纯电阻正弦交流电路

1.伏安关系

纯电阻正弦交流电路如图2-7a所示，取u_R、i_R为关联参考方向，根据欧姆定律，有：

若，则，其中U_R=I_RR。该式表明，在正弦交流电路中，电阻两端电压u_R与流过电阻的电流i_R是同频率同相位的正弦量，其波形图如图2-7b所示。

2.相量式和相量图

图2-7a电路可用图2-8a相量形式的电路表示，则有：

若，则。

式（2-9）中包含了两个信息。

（1）与的大小关系：

（2）与的相位关系：同相。与相量图如图2-8b所示。

【例2-5】 已知纯电阻电路如图2-7所示，R=100Ω，，试求u_R、，并画出相量图。

解：根据i_R写出相量式，

则，

画出的相量图如图2-8b所示，其中φ角为30°。

2.2.2 纯电感正弦交流电路

1.伏安关系

纯电感正弦交流电路如图2-9a所示，取u_L、i_L关联参考方向，从1.2.3节中得出，电感元件两端电压u_L与流过电感中电流i_L之间的关系为：。

若，则

其中，U_L=ωLI_L=X_LI_L，φ_u=φ_i+90°。该式表明，在正弦交流电感电路中，电感两端电压u_R与流过电感中电流i_L是同频率不同相位的正弦量，u_L超前i_L90°，其波形图如图2-9b所示。

2.感抗

X_L称为感抗，单位Ω。感抗是电感对交流电流阻碍作用的一个物理量。

上式表明，角频率ω越高，感抗越大。对于直流电流来讲，ω=0，感抗X_L也等于零。因此，电感对直流相当于短路。

3.相量式和相量图

图2-9a电路可用图2-10a相量形式的电路表示，、仍取关联参考方向，则有

式中，乘以j代表逆时针旋转90°，若，则。因此，式（2-11）包含了两个信息：

（1）与的大小关系：

（2）与的相位关系：

即电压超前电流，与的相位关系如图2-10b所示。

【例2-6】 已知纯电感电路如图2-9a所示，L=2H，i_L=1.44sin（100t-60°）A，试求X_L、u_L、，并画出、相量图。

解：X_L=ωL=（100×2）Ω=200Ω，

根据i_L写出相量式，，

说明：相量既可用有效值形式表示，也可用幅值形式表示。但等式两边应统一，且幅值等于倍有效值。

u_L=288sin（100t+30°）V

画出的相量图如图2-10b所示，其中φ_u=30°，φ_i=-60°，超前。

2.2.3 纯电容正弦交流电路

1.伏安关系

纯电容正弦交流电路如图2-11所示，取u_C、i_C为关联参考方向，从1.2.2 节中得出，电容元件两端电压u_C与流过电容电流i_C之间的关系为：。

若，则=，其中，φ_i=φ_u+90°。该式表明，在正弦交流电容电路中，流过电容的电流与电容两端电压是同频率不同相位的正弦量，i_C超前u_C90°，其波形图如图2-11b所示。

2.容抗

X_C称为容抗，单位Ω。容抗是电容对交流电流阻碍作用的一个物理量。

上式表明，角频率ω越高，容抗越小。对于直流电流来讲，ω=0，容抗X_C→∞。因此，电容对直流相当于开路。

3.相量式和相量图

图2-11a电路可用图2-12a相量形式的电路表示，、仍取关联参考方向，则有

式中，乘以（-j）代表相量顺时针旋转90°，若=，则，因此，式（2-13）包含了两个信息：

（1）与的大小关系：

（2）与的相位关系：

即电压滞后电流，与的相位关系如图2-12b所示。

【例2-7】 已知纯电容电路如图2-11a所示，C=2μF，f=50Hz，，试求X_C、i_C、，并画出相量图。

解：，

根据u_C写出相量式，，

画出的、相量图如图2-12b所示，其中φ_i=60°，φ_u=-30°，滞后。

【复习思考题】

2.5 感抗、容抗与频率有何关系？

2.6 正弦交流电路中，电感、电容两端的电压与流过的电流之间的相位有什么关系？

2.2.4 RLC串联正弦交流电路

RLC串联正弦交流电路如图2-13a所示，若用相量形式表示，如图2-13b所示。

1.伏安关系解析式

按图2-13a，电压u与电流i取关联参考方向，则有：

2.相量式

若用相量表示，则有：

其中，X称为电抗，X=X_L-X_C，Z=R+jX。式（2-15）与1.3.1节所述欧姆定律相比，形式相同，仅用Z替代R，用电压相量和电流相量替代u和i。因此，式（2-15）是欧姆定律的相量形式。

3.复阻抗

Z称为复阻抗，简称阻抗，单位Ω。

|Z|称为复阻抗模，简称阻抗模，

φ称为阻抗角，

需要指出的是，复阻抗Z不是正弦相量，而是一个复数，因此Z上面无“·”。但可以写成极坐标形式和直角坐标形式，与电压相量和电流相量进行乘（除）运算。写成直角坐标形式时，其实部为电阻R，虚部为电抗X。

4.相量图

RLC串联正弦交流电路相量图根据X_L与X_C的大小可分为3种情况，即X_L＞X_C、X_L＜X_C和X_L=X_C。

（1）X_L＞X_C，即X＞0，φ＞0，此时电路呈电感性，简称呈感性，U_L＞U_C，如图2-14a所示。

（2）X_L＜X_C，即X＜0，φ＜0，此时电路呈电容性，简称呈容性，U_L＜U_C，如图2-14b所示。

（3）X_L=X_C，即X=0，φ=0，此时电路呈电阻性，简称呈阻性，U_L=U_C，如图2-14c所示。

5.电压三角形和阻抗三角形

从图2-14中可以看出，U_R、|U_L-U_C|和U组成了电压直角三角形的三条边。三者的大小关系符合勾股定理，即。而从式（2-16a）中可得出R、X与|Z|也符合勾股定理：|Z|²=R²+X²=R²+（X_L-X_C）²，R、X与|Z|组成了阻抗直角三角形，如图2-15所示。且两个直角三角形的一个锐角均为阻抗角φ。因此，电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。

【例2-8】 已知RLC串联电路如图2-13所示，R=20Ω，L=0.1H，C=80μF，f=50Hz，，试求电流、、和，并画出相量图。

解：

画出的、、、和相量图如图2-16所示。