2.3 正弦交流电路功率

2.3.1 正弦交流电路功率基本概念

正弦交流电路的功率和能量转换比直流电路要复杂，有瞬时功率、无功功率、有功功率、视在功率和功率因数等多种概念。

1.瞬时功率

设一个二端网络，其端口电压为，端口电流为其中，φ为u与i相位差角，且u、i参考方向取关联参考方向，则该二端网络吸收功率为

上式表明，瞬时功率由两部分组成：一部分是恒定分量UIcosφ，也是瞬时功率的平均值；另一部分是二倍频的正弦量[-UIcos（2ωt-φ）]，如图2-17所示。当u、i同号（同为正或同为负）时，p＞0，表明网络从电源吸收能量；当u、i异号时，p＜0，表明网络向电源释放能量。u与i相位差φ越大，p＜0部分时间越长，平均值UIcosφ值越小。当φ=90°时，u与i正交，网络为纯电抗电路，平均值UIcosφ=0。

瞬时功率实用意义不大。工程上更关心瞬时功率中的恒定分量UIcosφ。

2.有功功率

有功功率也称为平均功率，它是瞬时功率在一个周期内的平均值，即瞬时功率中的恒定分量，用大写字母P表示，单位为瓦[特]，符号为W。

需要注意的是，式（2-18）中的U、I是电路总电压u和总电流i的有效值，φ是总电压u与总电流i之间的相位差角，且φ=φ_u-φ_i。若用于电路中某一元件，则有：

对于纯电阻电路，u_R与i_R同相，即φ=0，cosφ=1；对于纯电感电路，u_L超前i_L90°，即φ=90°，cosφ=0；对于纯电容电路，u_C滞后i_C90°，即φ=-90°，cosφ=0；即电感的有功功率P_L和电容的有功功率P_C恒为0。

因此，计算一个二端网络的有功功率时，只需要计算该网络内所有电阻的有功功率之和，而与网络内储能元件无关（但U、I值与网络内储能元件是有关的）。

3.无功功率

无功功率定义为电路中储能元件与外电路之间能量交换的最大速率，用大写字母Q表示，单位为乏，符号为var。

对于感性电路，φ＞0，故Q＞0；对于容性电路，φ＜0，故Q＜0。

式（2-19）中的U、I、φ与式（2-18）相同。但要注意：φ=φ_u-φ_i中，不能倒减，否则Q性质相反。若用于电路中某一元件，则有：

因此，计算一个二端网络的无功功率时，只需要计算网络内所有储能元件的无功功率之代数和，而与电阻无关（但U、I值与网络内电阻元件是有关的）。Q=Q_L+Q_C，由于Q_C总是负值，因此，电网络除与外电路或电源交换能量外，还有一部分是在电网络内部的电感和电容之间进行能量交换。

4.视在功率

视在功率定义为电气设备总的功率容量。电气设备的视在功率不仅体现它的有功功率，还应包括它与外电路或电源交换能量的无功功率。因此能表明电气设备功率总容量的是视在功率。视在功率的符号为S，单位为伏安，用符号VA表示。

由于P=UIcosφ=Scosφ，Q=UIsinφ=Ssinφ。因此，P²+Q²=S²，即：

上式表明，有功功率、无功功率和视在功率的大小关系符合勾股定理，组成功率直角三角形。该直角三角形的一个锐角为阻抗角φ。因此，功率三角形与电压三角形、阻抗三角形是相似三角形。

【例2-9】 已知某正弦交流电路，，，试求Z、R、X、P、Q和S。

解：

复阻抗Z实部为电阻，虚部为电抗。电抗若为正，即为感抗。因此：R=22Ω，X_L=38.1Ω。

有功功率只需计算电阻上的有功功率：P=I²R=（5²×22）W=550W

无功功率只需计算电感上的无功功率：Q=I²X_L=（5²×38.1）var=952.5 var

视在功率：S=UI=5V×220A=1100VA

2.3.2 提高功率因数

功率因数是电气设备一个十分重要的参数。

1.功率因数定义

有功功率与视在功率的比值，称为功率因数，用λ表示。

恒有λ≤1。λ越大，有功功率占视在功率的比例越大。

2.提高功率因数的原因

提高功率因数有着很大的经济意义，其主要理由如下：

（1）减小电能在传输线路中的损耗，提高输电效率。电能在传输线路中的损耗取决于传输线路中的电流（设线路阻抗为定值），在负载有功功率P和电压一定时，功率因数cosφ越大，传输线路中的电流越小，消耗在传输线路中的损耗也就越小，输电效率越高。

（2）可充分利用电源设备的功率容量。电源设备（例如发电机、变压器等）的功率容量是按照其额定电压和额定电流设计的。其中一部分作为有功功率提供给用电设备消耗，另一部分作为无功功率，与用电设备中的储能元件进行能量交换。若用电设备功率因数低，则有功功率所占的比例低，电源设备的功率容量得不到充分利用。例如，一台容量（视在功率）为1000 kVA的变压器（电源），若负载（用电设备）功率因数cosφ=1，则变压器能输出1000kW的有功功率；若负载功率因数cosφ=0.8，则变压器只能输出800kW的有功功率。

3.提高功率因数的方法和工作原理

提高功率因数最简便的方法：在感性负载两端并联电容器。

在实际用电设备中，除阻性负载外，极少有容性负载，大量的负载为感性负载，例如电动机、带有变压器和电动机的家用电器（电冰箱、空调、电视机）等。因此，提高功率因数就是针对这些感性负载，减小整个电路的阻抗角φ，即增大cosφ值。

设电路的感性负载等效为（R+jωL），其两端电压为，未加电容时流过的电流为，阻抗角为φ₁，功率因数为cosφ₁，其电路如图2-18a所示。

加电容后，电容中电流为，电路总电流，画出的相量图如图2-18b所示。从相量图中看出，的长度比的长度要小，即总电流I反而减小了，阻抗角从φ₁减小为φ，即整个电路的功率因数cosφ提高了。

其原因是：感性负载在未并联电容器时，只能与电源交换能量；并联电容后，其中一部分改为与电容交换能量，直接与电源交换能量的电流反而减小了，即总电流减小了。

需要说明的是，并联电容提高功率因数（从cosφ₁→cosφ），有两种可实现的方法：一种如图2-18b所示，电路总负载仍为感性；另一种是进一步增大并联电容，使电路总负载为容性，但这样将大大增加成本，一般不用。

4.并联电容计算方法

并联电容前：P=UI₁cosφ₁，

并联电容后：P=UI cosφ，

从图2-18b中可得出：

，而，代入解得：

【例2-10】 已知某感性负载接在50Hz、220V电源上，吸收有功功率为50kW，功率因数为0.7，现要求将其功率因数提高至0.9，试求并联电容C值和电路总电流。

解：cosφ₁=0.7，φ₁=45.6°，tanφ₁=1.02；cosφ=0.9，φ=25.8°，tanφ=0.484，

并联电容C前总电流：=324.7A

并联电容C后总电流：=252.5A

上述计算表明，并联电容后，总电流减小了，这将会减少在传输线路中的功率损耗。

【复习思考题】

2.7 P=UIcosφ中的U、I、φ各指电路中的哪个电压、电流、阻抗角？

2.8 什么叫无功功率？什么叫视在功率？与有功功率有什么区别？

2.9 为什么要提高功率因数？如何提高功率因数？