2.1 正弦交流电路基本概念

2.1.1 正弦量三要素

正弦量有正弦交流电压和正弦交流电流，现以正弦交流电流为例分析。设某一正弦交流电流i，流过一个二端元件，如图2-1a所示，箭头所指为其电流参考方向。由于正弦交流电流是正负交变的，因此，若实际方向与参考方向一致，则电流为正值；若实际方向与参考方向相反，则电流为负值。其电流波形如图2-1b所示。该电流可用下式表示：

i（t）是时间t的函数，将某一时刻t值代入i（t），就得到i（t）的瞬时值。i（t）常用i表示。从式（2-1）中可看出，确定一个正弦量必须具备三个要素：幅值I_m、角频率ω和初相位φ。

1.幅值I_m和有效值I

幅值I_m也是正弦交流电流的最大值、振幅值。对于一个确定的正弦交流电流，其振幅值是固定的。因此用大写字母I_m表示，下标m表示幅值。

对于正弦交流电流，该要素也常用与I_m有恒定倍率关系的电流有效值I表示。

有效值是根据电流热效应确定的。其定义为：若交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量与直流电流I在同一条件下所产生的热量相等，则这个直流电流I的数值称为交流电流i的有效值。，即：

其中，T为该正弦电流周期。对于正弦交流电流，设i=I_msinωt，则有：

式（2-3）表明，对于正弦交流电流，其幅值与有效值之间有着固定的倍率关系，即I_m=。对于我国民用正弦交流电，220V是该正弦交流电压有效值，是其幅值，这两个数值应予记忆。但是，特别需要指出的是，幅值与有效值之间倍的关系仅适用于正弦交流电流电压（注：还有一种在电子技术中出现的全波整流电流电压也适用），除此外，其余交流电流电压幅值与有效值之间均无倍的关系，求有效值需按式（2-2）计算。

2.角频率ω、频率f和周期T

角频率ω表示在单位时间内正弦量所经历的电角度。

ω的单位为弧度/秒，用符号rad/s表示。由于正弦量在一个周期内经历的电角度为2π，因此有：

其中，T为正弦电流的周期，是周期性交变量循环一周所需的时间，如图2-1b中所示。f是频率，f=1/T，单位为赫[兹]，用Hz表示。我国电厂发出的正弦交流电频率，称为“工频”。f=50Hz，T=0.02s，ω=2πf=2π×50rad/s=100πrad/s≈314rad/s。

3.相位和初相位φ

正弦量某一时刻的电角度称为相位角，简称相位，相位是时间t的函数，用（ωt+φ）表示。而相位表达式中的φ称为初相位，即t=0时刻的相位。相位和初相位均与计时起点有关，为此，做出如下规定：

①初相位|φ| ≤180°。正弦量为周期性函数，有无数个零点，这条规定使无数个零点只剩t=0（坐标原点）左右两个最近的零点A和B，如图2-2b、c所示。

②以正弦值由负变正时的一个零点作为确定初相位的零点。这条规定选择两个零点A和B中的一个作为确定初相位的零点。在图2-2b中是A，在图2-2c中是B。

需要说明的是，正弦量的初相位有正有负，正负取决于t=0的正弦值。若t=0时，正弦函数值为正，则φ＞0，如图2-2b所示，i=I_msin（ωt+60°）；若t=0时，正弦函数值为负，则φ＜0，如图2-2c所示，i=I_msin（ωt-60°）。

【例2-1】 已知下列正弦量表达式，试求其幅值和初相。

（1）u=100sin（ωt+240°）V

（2）i=-2sin（ωt-60°）A

解：（1）U_m=100V；由于|φ |≤180°，240°显然不符合要求。按照三角函数中正负角度的概念，240°即-120°，如图2-3所示，因此，φ=-120°。

|φ |＞180°的具体计算方法：可将φ±360°。φ为负值时，φ+360°；φ为正值时，φ-360°。

本题φ=240°，因此，φ=240°-360°=-120°。

（2）I_m=2A，正弦量幅值定义为正弦量的振幅，振幅恒为正值。至于“-”号，表示反相，即实际初相位比φ角超前或滞后180°。

“-”号的具体计算方法：可将φ±180°。φ为负值时，φ+180°；φ为正值时，φ-180°。

本题φ=-60°，因此，φ=-60°+180°=120°。

【例2-2】 正弦电压u_ab=，f=50Hz，试求：（1）t=2s；（2）ωt=π时，u_ab值及其电压实际方向。

解：f=50Hz，ω=2πf=2π×50rad/s=100πrad/s

u_ab为正值，表明t=2s时，其实际方向与参考方向一致，即a→b。

u_ab为负值，表明ωt=π时，其实际方向与参考方向相反，即b→a。

4.同频率正弦量之间的相位差

两个同频率正弦量之间的相位之差，称为相位差。

设两个同频率正弦量u和i，其表达式分别为u=U_msin（ωt+φ_u）、i=I_msin（ωt+φ_i），则u与i相位差：

上式表明，两个同频率正弦量之间的相位差即为其初相位之差，与ωt无关。就像两个人在环形运动场内同向长跑，如果速度相等，那么他们之间的距离始终不变，等于他们之间的初始距离。但若他们的速度不相等，那么他们之间的距离就在不断变化。同理，两个不同频率正弦量之间的相位差也在不断变化，不是一个常数。因此，两个不同频率的正弦量一般不比较相位。

按式（2-6），两个同频率正弦量之间的相位差一般有以下几种情况。

（1）超前：若φ=φ_u-φ_i＞0，则称u超前i（或i滞后u），如图2-4a所示。

（2）滞后：若φ=φ_u-φ_i＜0，则称u滞后i（或i超前u），如图2-4b所示。

（3）正交：若φ=φ_u-φ_i=±90°，则称u与i正交，如图2-4c所示。

（4）同相：若φ=φ_u-φ_i=0，则称u与i同相，如图2-4d所示。

（5）反相：若φ=φ_u-φ_i=±180°，则称u与i反相，如图2-4e所示。

2.1.2 正弦量的相量表示法

在数学中，我们已学过正弦量之间的加减乘除运算，但其方法较为烦琐。根据数学中极坐标和复数概念，可用相量和复数表示正弦量，再借助于计算器中极坐标与直角坐标直接转换功能，可以较为方便的解决正弦量之间的加减乘除问题。

1.相量表达形式

设正弦电压

用相量表示：或。其中和表示电压相量，加“·”以示与U_m和U的区别。该式中包含了正弦量三要素中的两个要数：幅值和初相位角。而另一个要素角频率，一般不需考虑，因为正弦量之间的运算一般只在同频率之间进行。

正弦量用相量图如图2-5所示。正弦相量置于复平面上，+1和+j为复平面横轴和纵轴单位长度量，相量的长度代表正弦量有效值U（用表示时，相量的长度代表幅值U_m），其与横轴之间的夹角φ代表正弦量初相位角。

相量的表达形式通常有两种：极坐标形式和直角坐标形式。

（1）极坐标形式：

（2）直角坐标形式：

其中，a、b分别为在复平面横轴和纵轴上的投影，a=Ucosφ，b=Usinφ；，。

需要说明的是，正弦量用相量表示，仅是表示而已。正弦量是时间t的函数，相量未表达出是时间t的函数，且也仅表示了正弦量三要素中的两个要素。而相量的直角坐标形式是一个复数，复数与正弦量是两个完全不同的数学概念，复数是一个数，不是时间t的函数。用相量（极坐标形式和复数形式）表示正弦量，主要是借助其运算方法，便于解决正弦量之间的加减乘除问题。而且，当两个同频率的正弦相量置于同一复平面上时，可一目了然地比较它们的大小（长度）和相位关系（初相位角、超前滞后）。

2.相量运算

（1）相量加（减）法。相量加（减）法应将其化成直角坐标形式（即复数形式），实部加（减）实部、虚部加（减）虚部，然后再化成极坐标形式。

【例2-3】 已知，。试求：

1）i₃=i₁+i₂；2）i₄=i₁-i₂；3）画出相量图。

解：根据i₁、i₂写出其相量式。

因此，

因此，

3）画出的相量图如图2-6所示。其中可认为，可先求出，然后再求。

（2）相量乘（除）法。相量乘（除）法应将其化成极坐标形式，然后模相乘（除），幅角相加（减）。

【例2-4】 已知相量，试求：和。

解：将相量直角坐标形式化成极坐标形式：

需要说明的是，在相量中有4个单位相量：=和。按照相量乘法规则，一个相量乘以j相当于将该量逆时针旋转90°；乘以（-j）相当于将该量顺时针旋转90°；乘以（-1）相当于将该量旋转+180°或-180°。另外，按正弦量初相位表达要求，相量极坐标形式中的幅角|φ| ≤180°，若超出±180°，应等效化简。

【复习思考题】

2.1 什么叫角频率ω？ω的单位是什么？与频率f、周期T有何关系？“工频”的频率、周期和角频率是多少？

2.2 比较两个正弦量之间的相位差时，什么叫超前、滞后、正交、同相和反相？

2.3 电流有效值是根据什么定义的？写出其表达式。正弦电流有效值与幅值之间有何关系？非正弦电流有效值与幅值之间是否也有此关系？

2.4 为什么要用相量表示正弦量？