贝叶斯逻辑 ^※

纯粹贝叶斯主义者又有什么看法呢？她相信哪种逻辑？经过对贝叶斯主义的思考，我最激动人心的发现之一就是，实际上纯粹贝叶斯主义者自己有一套演绎逻辑，它既不是经典逻辑，也不是直觉主义逻辑。我们可以称之为贝叶斯逻辑，它是贝叶斯公式的特例。在这套逻辑中，某个事件（比如 ）为真，对应着这个事件发生的概率为 1 的极端情况，也就是 。另外，事件 蕴涵另一个事件 可以写成 | ，换句话说，用贝叶斯主义的话来说，当且仅当已知 发生时 也发生的概率等于 1 时，才能说 蕴涵 。

与其他逻辑规则一样，肯定前件推理和否定后件推理也是全概率公式和贝叶斯公式的特例。你可能还记得，肯定前件推理就是“(→) 且→”这个重言式。它的贝叶斯版本就是先假定 | 及 ，从这两个等式出发，我们可以推出 ，我建议你可以自己算一算。你也可以试试用同样的方法，利用贝叶斯公式来证明否定后件推理、逆否命题的等价性与排中律。

所以，与一般采用的逻辑体系相比，贝叶斯逻辑似乎毫不逊色。然而，它并不等价于这些经典的逻辑，特别是在经典逻辑的蕴涵关系 → 和贝叶斯等式 | 之间，当 为假时二者有着细微的差异。这是因为，当 为假时，即使 是假的，→ 这个逻辑公式也为真。你可能觉得这样很奇怪，不过这样想的不止你一个 ^[6]！然而，如果 ，那么 | 这个贝叶斯表达式就没有定义。

有趣的是，与经典逻辑相比，贝叶斯概率对蕴涵关系的解释更为自然。的确，“如果法国赢了 2006 年的世界杯，那么鸡就有牙齿”这句话在经典逻辑中是正确的，然而它似乎有些违背常识。我们更想说这句话在逻辑中非真非假，或者说它没有意义。这正是贝叶斯逻辑的结论，它断言当 时，| 没有定义。

贝叶斯逻辑也能自然推广到谓词逻辑的范畴，但它在那里还是与经典逻辑有些区别。要理解这一差异，就要先把逻辑理论中的对象看作随机抽选而来的。我们来考虑逻辑理论的对象集合上的概率分布。在全称量化命题“ ”中，如果把 当作根据概率分布抽取的对象，那么我们可以把原来的命题翻译成 这个等式 ⁵。在贝叶斯逻辑中，这一等式可以写成 ；反过来说，存在量化命题“ ”可以翻译成 。

因此，在贝叶斯逻辑中，全称量词的特化规则有它的对应物，该对应物可以从贝叶斯公式推导出来。这样的话，如果 ，且 是理论中的一个对象 ⁶，那么 。然而，存在量词在贝叶斯逻辑中的对应物与其在经典逻辑中的意义不同。在贝叶斯逻辑中，如果 ，那么我们只能说这个逻辑理论中存在一个对象 ，使得 这个事件发生的概率严格大于 0，也就是 。