柏拉图主义者对阵直觉主义者

柏拉图主义的数学家会将这个定理解释成公理体系的欠缺。对于柏拉图主义者来说，自然数，或者说自然数的集合，实际存在于理念世界 ⁴ 之中，而其中的所有命题必然或真或假。不巧的是，因为语汇和符号都是有限的，这让我们只能描述这个理念世界的一部分。所以，真理体系的有限性让我们无法证明某些关于这个理念世界的正确定理。对于柏拉图主义者来说，哥德尔的定理证明了存在不能被证明的正确定理。

直觉主义的数学家对这个定理的解释却不一样。对于直觉主义者来说，数学就是一种构造的游戏。这样看来，皮亚诺的第一条公理首先就是一个工具，让我们能够构造数字 0。而皮亚诺的第二条公理就像一台机器，我们给它一个自然数，它就会用这个自然数构造一个新的自然数。

除此之外，特别是在类型论这个谓词演算的现代替代选择中，直觉主义者认为“数学证明”只是这个理论中的对象，所以这些对象自身也应该是被构造出来的。直觉主义者格外关注的问题是这些对象的可构造性，而不是定理的正确性。对于直觉主义者来说，哥德尔的定理断言了在所有理论中都存在一些定理，无论是肯定还是否定它们的证明都不可能被构造出来。这一点对他们来说不是什么形而上学的难题，因为定理的正确性这个问题只是次要的。

柏拉图主义者与直觉主义者论战的核心可以归结于排中律，这个逻辑定律断言“P 或非 P”是一个重言式。似乎只需要列出真值表就能理解这一点。如果 P 是真的，那么“P 或非 P”也是真的；如果 P 是假的，那么“非 P”就是真的，所以“P 或非 P”也是真的。

然而，对于直觉主义者来说还有第三种可能性：P 既不能被证明，也无法被否定。这时我们就说 P 是不可判定的。这样一来，如果 P 不可判定，那么我们就能看到 P 和非 P 都不是真的，所以“P 或非 P”同样不可判定。的确，如果既没有 P 的证明，也没有非 P 的证明，那么我们就不可能构造“P 或非 P”的证明。所以，对于直觉主义者来说，“P 或非 P”不是重言式。

所以，柏拉图主义者与直觉主义者之间的对立并不限于哥德尔的定理。直觉主义者不接受柏拉图主义者做出的任何非构造性证明。在用这种方法证明的定理之中，最有名的有巴拿赫–塔斯基悖论 ^[5]、线性空间中基的存在性，以及代数闭包的唯一性。