柏拉图作品中的乐理

麦克莱恩（E.G.McClain）撰

张 和 译

对于数字在不同情况下是否和谐及其原因的探讨……这难道不是一首歌曲的前奏……一首由辩证法所演奏的歌？

——《王制》531c-532a

柏拉图晚期对话录中充满数学寓言。《蒂迈欧》开篇是一个长篇数学寓言，《治邦者》（Statesman）中则较为简短；《王制》中有三则；在《克里提阿》（Critias）和《法义》中，这种寓言则贯穿始终。柏拉图于公元前347年离开人世后，他的弟子和朋友们就开始了无休止的争论：柏拉图将数学结构应用到灵魂、城邦与行星的模型中，这究竟用意何在？到了基督教化时代来临的时候，柏拉图的数学理论成了一个难解的谜。一些人激烈地提醒人们，要注意那个苏格拉底从星相学家那里听说的“唯一的和声”。[1]苏格拉底在他的政治哲学理论中将某一个数字称为“至高无上”的；西塞罗也认为那个数字具有“数学柏拉图主义的朦胧特质”（numero Platonis obscurius），他这一说法得到了后世学者的认同；另外，据说尼各马库斯（Nicomachus）对此也提供了自己的解释，只是这一解释并未流传下来——当然，尼各马库斯也许根本没有作过相关论述。[2]公元五世纪，柏拉图学园的最后一位领袖普罗克洛斯（Proclus）已经不再能理解柏拉图的数学理论，不过，普罗克洛斯机敏地用“世界灵魂”这个似是而非的理论来解释《蒂迈欧》。

随着历史的流逝，柏拉图的数学理论成了柏拉图主义者们头疼的问题：他们无法弄懂这一理论，甚至难以勾勒出其完整的轮廓。直到二十世纪，这一问题才迎来了解决的契机。1901年，亚当（James Adam）开始破解《王制》中数学寓言的含义；他否定了在他之前的一千年中对此问题所做的种种解释，并且为此问题的解决提供了新的规范，即首先要严格遵从柏拉图原文的说法。[3]泰勒于1928年用同样的方法研究了《蒂迈欧》；从他的努力中可以提炼出一个原则：柏拉图，他写道，“要求完美的谐调”。[4]可惜他没有完全依此原则行事，否则他可以避免犯与前辈同样的错误。1937年，康福德（Francis Cornford）——也许是二十世纪最为权威的柏拉图研究者——出人意料地在理论上开了历史的“倒车”。康福德认为，从柏拉图《蒂迈欧》的音乐算术理论中，人们希望总结出他的行星体系，但其中的难点在于一个金属制的“天球体”（armillary sphere）。该球体在柏拉图派的学园里（虽然它本身无法正常运行），“柏拉图在写作时，眼前或许就摆着那个球体”。[5]康福德于1945年翻译的《王制》，不仅忽略了有关苏格拉底“无上的数字”的“极为含混的描述”，而且还“简化了”僭主寓言的文字。[6]接着，布伦博（Robert Brumbaugh）于1954年开始用全新的视角来研究柏拉图的数学理论。

在《柏拉图的数学想象》一书中，布伦博收集了柏拉图所有与数学相关的文本，并将这些资料进行了严格的分析。[7]他画出了很多柏拉图在文本中暗示过的图表——没有这些图表会使文本显得含混。布伦博还注意到“审美简约”这一法则，毕达哥拉斯学派在研究最小的整数以及数字理论中的关系问题时曾应用过它；他发现该法则是纯粹的逻辑方法，它诞生于一个还未产生代数变量的时代（同上，页295）。布伦博认为，在柏拉图那里，圆形作为循环的象征地位非常重要，它包括“一些类型的相互作用（reciprocity）”（同上，页88）。他抽取出柏拉图的代数与几何隐喻中的基本法则，并表明：这些广义上的寓言早就应该得到详尽的解读。亚里士多德曾描述过柏拉图的数学研究，包括“最大与最小的二价元素”（a Dyad of the Great and the Small）；据此，布伦博得到一个新奇的观点：“在数学隐喻中频繁出现的常识说明，系数（modulus）已经形成”（同上，页226）。他补充说，这个与柏拉图相关的“系数”概念“异常引人注目，因为它是解释二价元素问题的基础”；另外，这个概念根植于音乐八度音阶中2∶1的比例。