从音乐的角度出发

也许是因为柏拉图主义者的无知或忽略，有一个世纪的时间，人们没有想到从音乐角度理解柏拉图的数学理论。在1868到1876年间，塞姆斯（Albert von Thimus）就已经预见到，在《蒂迈欧》的创世神话中[8]——后来泰勒的“审美简约”法则和布伦博的“循环相互作用”法则都和它相关——包含一些音乐上的理论。随后，凯瑟（Hans Kayser）和莱维（Ernst Levy）发展了塞姆斯的观点，尤其是莱维有关和声的论文（1940年在法国，1950年在英国，但并未发表）和他研究毕达哥拉斯学派的文章。[9]笔者有幸和莱维共事过几年，从他那里得到很多宝贵的启迪，如有关毕达哥拉斯学派的独特洞见，这其中包括苏格拉底那个难以理解的“无上的”政治数字的公式；该公式表明，理想化往往过于复杂而不切实际，就像音乐家所谓的完美调音一样；因此，苏格拉底预言的那场政治灾难也必须和音乐家所熟知的困难联系起来。考德（Hugo Kauder）认为，毕达哥拉斯主义的调音对于古希腊人的作用类似于“平均律”（temperament）；这是一种极有启发性的预见，莱维的相关解读便是以此为基础。

我在这方面的研究，吸取了塞姆斯和莱维的音乐理论——这一理论最初是由亚当、泰勒和布伦博提供的；同时，作为我的良师益友以及同事的列瓦瑞（Siegmund Levarie），也自始至终对我的工作给予帮助。然而研究所提供的主题却出乎所有人的意料：柏拉图所有的数学寓言都能够从音乐的角度分析，并得到解释；而且，其所有的寓言组成了一篇逻辑严密的、关于音阶理论的论文，因此必须作为一个整体才能发现其意义。然而，更引人注目的是，当我们将《王制》《蒂迈欧》《克里提阿》和《法义》作为一个整体去研究的时候，所有柏拉图的数学理论的疑点都能够得以解释——而且是用柏拉图自己的语汇去解释。

在柏拉图之前的一千年里，人们证明了音乐中一种极有意义的对应，即弦长（印度-巴比伦-苏美尔人的竖琴）与其所发出的音调之间的比例关系——这一关系将数字与音调（tone）联系起来，并且可以简单地测量出来。其他要素不变，将弦长减半，其音高将上升一个八度；1∶2的比例与听觉上的经验于是有了对应——这是非常关键的，在人的感知经验里，这种相差一半的比例就像一种“循环的恒等”（cylic identity）；在现代记谱法中，它们也用相同的字母表示。八度音阶的进一步分割，就意味着更小的比例（即更大的连续数字之比）。除了紧接着的“五度音阶”2∶3、“四度音阶”3∶4、“大三度音阶”4∶5以及“小三度音阶”5∶6，人耳就不能辨别更小的比例了。虽然如此，无论多小的音程，都完全可以由理论家们计算出来，计算方法与前面六个整数完全一样，而调音师也能据此调出所有的音调。

调音理论非常简单易懂，也许因为它是最早得以精确化的自然科学。柏拉图显然知道单弦琴这种工具——它可以保持其他要素不变而只改变弦长，但是，他坚持认为，调音理论只可在数学领域进行研究。柏拉图曾作过一段有趣的描述：有些人“喜欢不断折磨琴弦，将它们钉起来严刑拷打”，同时把耳朵凑上前去，“像是在窃听邻居的交谈”；这些人相互争吵着，有的认为“最小的音程还没有测量出来，有的却坚持说已经发出的音就是了”。这种人，柏拉图抱怨道，“将耳朵摆在了理智之前”。

他们依赖听觉来寻找和谐的数字，却没有意识到真正的问题所在，没有反思数字和谐与否的原因。（《王制》531a-c）

柏拉图用激烈的语言要求我们“意识到真正的问题所在”，并且试着思考数字本身；千万不要自欺欺人地以为，单凭在单弦琴上做做标记就可以解决问题。在适当的地方我将提供关于单弦琴的图表，为的是让读者了解，假如忽视柏拉图的以上劝告将导致怎样的后果。

那些制造并调试乐器的音乐家应该明白，前面所提到的由有理数组成的“纯粹”音乐比例，无法代替八度音的1∶2。如今，我们将八度音阶平分为十二个部分，这意味着，作为八度音的1/12的“半音”，在数值上相当于2开12次方；它是这个体系中最小的音，所有更大的音程都是半音的倍数。柏拉图所知的整数比例无法产生这样“封闭”的系统；但是，这些无限数字组成的音调（infinite number of tones）将导致音乐上的混乱。在柏拉图戏剧性的描述中就暗示了这一问题：实际上，由2的幂次方（4、8等等）所规定的八度音中的偶数，与由3的幂次方（9、27、81等等）所规定的五度音和四度音中的奇数，再加上由5的幂次方（25、125等等）所规定的三度音，这些系统之间难以和谐一致。给一个12音调的系统调音是一门艺术，因为你必须根据有限的、可感知的“纯”音程去精确定位，并将其稍稍变化——我们称之为“调音”——以便保证周期性的一致。

从音乐家的角度看，柏拉图的《王制》可以说是一部关于音律法的论文。音律是音乐中最基础的论题；这一论题的产生是源于三度音、五度音与八度音的不调和——结婚寓言形象地说明了这种不调和的矛盾：三度音与五度音的不同，就如同3的儿子与5的儿子具有不同的基因一样。在僭主寓言里，五度音与八度音的差异——这和3的乘方与2的乘方的差异一样——也得到了展示。《王制》结尾的厄尔神话中，柏拉图指出，塞壬歌声中隐藏着的天国的和谐，实际上是由命运三女神拉基西斯、克洛索和阿特洛波斯所调节；她们还必须根据整数上的限定来干预行星的轨道，以便保持完美的协调。在柏拉图用行星象征的理想城邦中，公正并不意味着给予每个人（这里的人用整数代表）“他所应得的”，而是将这种要求转化为“什么对城邦最为有益”（412e）的适当性。十六世纪新出现的三和弦样式以及弦乐器与键盘乐器的发展，使得柏拉图的理论问题变为迫切需要解决的实践难题。巴赫时代对平均律的应用实现了在柏拉图那里仅仅是理论的东西。可以说，从音乐角度看，《王制》足足超前了两千年的时间。

从塞姆斯、莱维、亚当、泰勒、布伦博等当代学者，以及亚里士多德、普鲁塔克（Prutarch）、托勒密（Ptolemy）、尼各马库斯、普罗克洛斯等古代学者那里，我学到了很多有益的知识，然而在接下来的文字中，笔者将抑制自己的这些间接所得，以便使读者能够直接从柏拉图的算数学中来理解柏拉图。他操着古典的语言，描述的是一种欧几里德几何学之前的数学。他不断使用一些音乐上的双关语，很多语汇使人难以翻译。[10]柏拉图经常省略一些惯用的表达，他还偏爱具有多重言外之意的隐喻。就像《会饮》的结尾（223d）所言，他将谐剧与“肃剧”（在其高度的严肃性上）融合。他的语言散发出一种无人能及的活力。必须指出，柏拉图这样做的目的，绝非是将其长久以来的研究用语言做正式说明；我宁肯相信他自己的声明：“如果对该主题做一番论述或演说，没有人比我更胜任。”（《书简七》341c-d）在这里柏拉图指的是自己的哲学而非音乐数学；他确实最“胜任”。

柏拉图习惯于假设，他的读者对于古希腊的音乐理论烂熟于胸。只要能理解柏拉图的算数学，笔者将尽量限制音乐上的专业理论；我向读者保证，本文只涉及八度音方面的知识，数学上则只包括整数10以内的乘除法及其扩展。唯一将出现的更大的数字是“八度音倍数”（octave-doubles），而且它的出现是为了避免分数；涉及比例的问题只会使用较小的数字。

关于柏拉图的寓言在音乐上的内容，包括一个八度音程、十个数字、“相互作用”（reciprocity）的基本原则，我们都可以直接从柏拉图那里了解到。