6.5 索罗模型
6.5.1 基本模型
索罗模型写于20世纪50年代，虽然很简单，动态求解也不困难，但其预测能力却很强，直到今天，索罗模型仍被广泛应用。作为一个经典的单部门模型，索罗模型假设一个包括两种生产要素且具有不变规模报酬的柯布—道格拉斯生产函数
其中K为资本，L为劳动力，a和1-a为（0，1）之间的小数，分别代表资本和劳动力的产出弹性。记人均收入y=Y/L，人均资本k=K/L，则有：
这样，在一个简单的生产函数的假设之下，人均收入与人均资本联系在一起。
在上述基本假设之下，我们可以考察索罗模型的动态过程。我们要考察的动态系统中有三个状态变量，分别为资本、劳动力和总收入；由于总收入是被资本和劳动力所决定的，因此本质上只有两个自由的状态变量。将劳动力的增长速度外生给定为n<^，于是我们剩下的任务就是研究资本的运动轨迹，即资本积累问题。在索罗模型中，资本积累等于储蓄减去资本折旧（资本有折旧这一情况是哈罗德—多马模型中未考虑的）。以δ表示资本折旧率、s表示外生给定的储蓄率，则资本的增长可以表示为
我们将看到，用人均收入和人均资本来刻画稳态比较方便，所以，我们下面计算人均资本存量的增长量：
将（6.5.3）式和劳动力增长速度代入（6.5.4）式得：
（6.5.5）式说明，人均收入的储蓄部分（即资本增量）减去由于折旧和人口增长所消耗的人均资本后，剩下的为人均资本的净增长。继续求解人均资本的增长率，有：
稳态要求资本存量的增长速度为常数，又由于劳动力增长速度已经设为常数，因此，人均资本增长率k^=K^-L^也是常数。在（6.5.6）式中，s，δ，n<^，a均为外生给定的常数，故k在稳态上必为常数，其增量为零，根据（6.5.5）式，我们有
将y=ka代入（6.5.7）式得：
由此可以解出稳态时的人均资本和人均收入：
因此，K、L、Y在稳态上保持同等速度增长（速度为人口增长率），若以K、L、Y为状态变量，则该系统处在平衡增长路径上。在这个路径上，人均资本存量和人均收入为常数，它们是储蓄率的增函数，是人口增长率和折旧率的减函数。这两个结果都是非常容易理解的，较高的储蓄率提高下一期的资本存量，从而提高收入水平，而较高的人口增长率和折旧率都降低人均资本存量的增长速度。
我们可以利用图6.7来讲解索罗模型的稳态。图中横轴为人均资本存量，纵轴为人均收入，sy为人均储蓄曲线，而（n<^+δ）·k为人均资本的消耗，根据（6.5.7）式，两者的交点E就是稳态，对应的人均资本存量是k*，人均收入是y*。由于人均储蓄曲线是人均资本的凹函数（6.5.2式），且在原点处的导数为无穷大，而人均资本消耗是人均资本的线性函数，我们知道，若起始时人均资本位于k*点左侧，则新增的人均资本量大于人口增长及折旧所消耗的人均资本量，则人均资本存量增加，人均收入增加，若起始时人均资本位于k*点右侧，则人均资本存量和人均收入都下降。因此，E点为一个稳定的稳态。
图6.7 索罗模型图解
6.5.2 收敛问题
索罗模型的一个重要结论是，在没有技术进步的情况下，稳态上人均收入为常数，即对于人口增长率和储蓄率相同的国家而言，它们的人均收入将收敛到相同的水平上。在文献里，通常把这种人均收入水平的收敛称为σ<-收敛，即国家之间人均收入分布的方差缩小。由于存在这种收敛，一个必然结论是，随着人均收入（资本）的提高，并越来越接近稳态水平，一个国家的增长速度将下降。在文献中，这个过程被称为β<-收敛。下面我们具体来看β<-收敛是如何实现的。对于人均资本而言，我们要证明k^随k的增加而下降。由（6.5.6）式我们得到，
由于a小于1，上式的值为负数，我们因此证明了随着人均资本的增加，其增长速度是下降的。对于人均收入而言，我们考察人均收入的增长率
又由于a小于1，y<^显然是y的减函数，所以收入的增长速度也随着收入的增加而下降。
由上述推导可以看到，推动β<-收敛的主要因素是a＜1，即资本的边际报酬下降。边际报酬下降，意味着人均收入的增长赶不上人均资本的增长（见（6.5.11）式），因而储蓄的增长也赶不上人均资本的增长（见（6.5.6）式），从而人均资本的增长速度逐步下降。又由于人均收入的增长依赖人均资本的增长，所以人均收入的增长速度也下降。如果各国的储蓄率和人口增长率一样，则β<-收敛一定意味着σ<-收敛。
收敛的一个重要推论是，在没有技术进步的前提下，资本积累只有在一个国家没有达到稳态时对经济增长具有促进作用。随着人均收入的提高，资本积累的作用越来越小，当稳态到来的时候，资本积累的作用仅仅是弥补折旧和人口增长带来的损耗。
6.5.3 绝对收敛和条件收敛
索罗模型所蕴含的收敛问题对于理解发展中国家的经济赶超很重要。收敛意味着，人均收入起点越低的国家，其增长速度越快，因而赶超是必然的，全世界的收入水平有望收敛到相同的水平。但是，在讨论收敛问题的时候，我们必须区分两种收敛，即绝对收敛和条件收敛。所谓绝对收敛，指的是无论国家之间的稳态是否相同，都发生收敛；而条件收敛意味着，只有稳态相同的国家之间才能发生收敛。索罗模型只能得到条件收敛，得不到绝对收敛。
我们用图6.8来说明绝对收敛和条件收敛之间的差别。图中考察两个国家，分别以1和2标示。两国的人口增长速度相同，但国家2的储蓄率高于国家1，因而其稳态E2下的人均收入也较国家1的稳态E1下的人均收入高。假设国家2目前的位置为k2，国家1的位置为k1，k2大于k1，且和k2相对应的收入也大于和k1相对应的收入（图中没有显示收入），但k2离稳态E2的距离比k1离稳态E1的距离远。
图6.8 绝对收敛和条件收敛
按照绝对收敛说，国家1的资本积累速度和人均收入增长速度都应该高于国家2，因为国家1的人均资本和人均收入都低于国家2。但是，索罗模型得不到这样的结论。先看资本积累速度。由（6.5.6）式可知，它不仅取决于人均资本量，而且取决于储蓄率和人口增长率。由于国家2的储蓄率高于国家1的储蓄率，它的资本积累速度因此不一定低于国家1的资本积累速度。同理，根据（6.5.11）式，人均收入增长速度不仅取决于人均收入，而且取决于储蓄率，因此国家2的人均收入增长速度也不一定低于国家1的人均收入增长速度。
在索罗模型里，只有当两个国家的稳态一样的时候，我们才能判定，人均资本（收入）较低的国家的增长速度高于人均资本（收入）较高的国家的增长速度。在经验研究中，这意味着只有当各个国家的稳态被控制之后，比较它们之间的增长速度才有意义。一些学者在经验研究中发现了所谓的“俱乐部收敛”，即在具有相似状况的国家和地区出现收敛，而在“俱乐部”之间没有收敛。譬如在制度环境、政府政策和国民行为相近的经济合作与发展组织（OECD）国家当中存在收敛，而在世界范围内不存在收敛。中国内部也有类似的情况，东、中、西部三个地带由于地理和人文环境以及政府政策等条件的不同，分别收敛到不同的稳态上。
6.5.4 技术进步
上述基本模型可以解出稳态时人均资本和人均收入的显式解，且两者是由若干外生变量所决定的常数。但这仅仅是一个特例。在本小节中，我们将在索罗模型中加入技术进步因素，即引进随时间变化的技术状态变量。我们将看到，此时我们无法求解出k*和y*的显式解，但可以得到它们在稳态上的变化率。
我们这里考虑增强劳动力的技术进步，
生产函数因此变为
进一步假设A的增长率为固定的常数η。则人均收入可以表示为
相应地，（6.5.6）式变为
稳态要求A1-aka-1为常数。对其求时间的导数，我们有
整理得到
因而，
再由（6.5.13）式，我们得到
即我们得到人均收入和人均资本的增长率等于技术进步率这样一个平衡增长路径。这个结论很重要，它意味着，一个国家如果要在稳态上仍然保持人均收入的增长，则必须保持技术进步。
由（6.5.17）式和（6.5.18）式我们很容易得到资本存量K和总收入Y的增长速度，它们是
我们不能确定稳态上人均资本和人均收入的绝对量，但是，我们可以确定有效劳动力的平均资本量和收入。有效劳动力的定义是LE=AL。这样，有效劳动力的平均资本量和收入分别是k E=K/（AL）=k/A和y E=Y/（AL）=y/A=ka E。那么，结合（6.5.14）和（6.5.17）两式，我们有
由此得到
即稳态上的有效劳动力的平均资本存量和收入都是常数，因而，以有效劳动力为基础，基本模型部分关于收敛的结论也适用于这个拓展模型。由于k=Ak E和y=Ay E，人均资本和收入的水平量随着增强劳动力的技术进步而上升，人均收入也上升。事实上，本模型可以推导出所有六个卡尔多事实。另外，在A给定的前提下，基本模型部分关于收敛的结论也再次适用。