6.4 哈罗德多马模型

6.4.1 原始模型

哈罗德—多马的原始模型是一个较简单的凯恩斯模型，下面是这个模型的一个推导。首先，以g=Y^表示收入增长率，S表示总储蓄，则s=S/Y为储蓄率；定义c=K·Y·为资本消耗弹性，即一定产出增长所需要的资本增长量。由此我们有：

在凯恩斯均衡下，储蓄等于投资，后者又等于资本形成，即S=I=K·，所以我们有：哈罗德和多马假设c为常数，因此经济增长率完全取决于储蓄率。由此得到的结论是：发展中国家要想发展，最重要的是提高储蓄率。

6.4.2 一个变形

上述原始模型没有考虑人均收入的变化，且储蓄为外生的。本小节对原始模型的变形体现在两方面：引进人口增长和内生储蓄。首先，假设人口增长为马尔萨斯人口增长方程

其中β为正的常数，y为人均收入，m为生存收入。其次，定义储蓄率为

即人们必须满足生存收入之后才开始储蓄，当y≤m时，s=0。另外假设f＇＞0，f″＞0，前者表示收入越高则储蓄率越高，后者表示收入越高则储蓄率的增长率也提高，即储蓄率的增加是加速的。后一假设对我们得到多重均衡是重要的，直观地看，它意味着越富有的人储蓄越多，在现实中这是可以理解的。最后，总收入的增长率由（6.4.2）式决定。

在以上假设下，我们必须考虑经济增长的动态过程，人口和总收入的提高构成一个动态系统。求解这样一个动态系统的起点是确定系统的“状态变量”，即随时间变化并能够完全描述系统某一时刻状态的变量，其他变量叫“决策变量”，即在给定状态变量的前提下行为者需要决策的变量。通常情况下，我们希望对不同变量做比较静态分析。在静态模型中，比较静态分析的基础是均衡：只有当模型达到均衡的时候，我们才能进行比较静态分析。在动态模型中，除非我们知道所有状态变量的转移动态，即它们随时间变动的轨迹，否则我们无法对变量之间关系进行分析。通常的做法是，我们先找到动态系统的稳态，然后在稳态上进行比较静态分析。所谓稳态，即所有状态变量以固定速度增长的状态。这一定义包括状态变量停止变化的状态，如在第2章里的马尔萨斯均衡。

在我们设定的动态系统中，人口n和总收入Y就是状态变量，它们随时间而变化，一旦它们确定，则其他变量的值也确定了。图6.5是对它们随时间变化的一个描述：

确定了状态变量，我们下面求解系统的稳态。首先，稳态要求人口增长率为常数，即n<^为常数，根据人口增长方程（6.4.3），可得到人均收入y在稳态时亦为常数，即·y=0。进一步，由Y=n·y得，

因此，

即在稳态时，人口增长率等于收入增长率，且均为常数。这种所有状态变量都以相同的增长速度增长的稳态一般称为平衡增长路径。

合并（6.4.2）、（6.4.3）、（6.4.4）和（6.4.6）四个等式，我们得到一个可以求解稳态下人均收入的等式

要得到y的确切值，我们需要知道f（·）的函数形式。但是，即使不知道它的具体函数形式，我们也可以通过图6.6得到一些有意义的结论。该图包括上、中、下三张图。上图表示人口增长函数，即人口增长率和人均收入的关系，中图表示储蓄率和人均收入之间的关系（注意储蓄率是人均收入的凸函数），下图把人口增长和收入增长曲线表示在一起。根据（6 7）式，这两条曲线的交点即确定稳态的人均收入，同时确定稳态下的人口增长速度n<^和收入增长速度Y^。如果给定起始点的人口和收入，我们就可以得到任意时间上稳态下的人口和收入。由图6.6可知，人口增长和收入增长曲线相交于两点m和u，即存在两个稳态。其中m点为稳定的稳态，因为在其右侧的点表示人口增长速度大于总收入增长速度，因此人均收入不断下降，直到回归m点为止，反之起始点在m点左侧时，人口下降的速度绝对值要大于总收入下降速度，因此人均收入不断上升；而u点为不稳定的稳态，因为在其右侧的点表示人口增长速度小于总收入增长速度，因此人均收入发散增长。也就是说，u点相当于一个分水岭：倘若经济在起始状态处于u点左侧，则它只能达到低水平均衡m；相反，若起始状态处于u点右侧，则总收入、人口、人均收入都将不断增长，且总收入的增长速度大于人口的增长速度。u点可以视为起飞点，而m点是一个低水平陷阱。

以上是对哈罗德—多马模型的一个简单动态化，我们得到高、低两种均衡结果。在以后的章节中，特别是对于规模报酬递增的模型介绍中，也时常能碰到类似的情况。这里最重要的假设是储蓄是人均收入的凸函数，它类似于规模报酬递增的假设。