6.3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理[1],[3],[4]

6.3.1 亥姆霍兹方程

对于频率为ν的单色光波，其场量可写为

U（P）和φ（P）分别为振幅和初相位。引入复振幅，即

则可将式（6.3-1）表示为场量复数形式（P）exp（-i2πνt）的实部，即

光波场u（P，t）在无源点满足标量波动方程

对于单色光，其场量对时间的关系确定，其复振幅满足的空间分量微分方程为

其中，k为波数，即

式（6.3-5）称为亥姆霍兹方程。光波场中任意一点的场值即亥姆霍兹方程的解，这个解可以通过基于格林定理的积分定理来获得。

6.3.2 格林定理

假设S为封闭曲面，G、U分别是空间位置的复函数，且在S内和S上单值并连续，并存在一阶和二阶偏导数。用G、U构造一矢量F

则

应用高斯定理

上式右边有负号是因为n取S内法线矢量的缘故。于是有

格林定理是标量衍射理论的数学基础，只要选择合适的格林函数G和封闭曲面S，就可以用格林定理来分析很多衍射问题。

6.3.3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理

为了利用格林定理来求解亥姆霍兹方程，需要构造格林函数G。设观察点位于P点，S1为包围P点的任意封闭曲面，如图6.3-1所示。

令U为单色光场的复振幅。假设G表示由P点发出的同频率发散球面波，则对任意点P1有

r为从点P到点P1的距离。若要运用格林定理，函数G及其一阶、二阶导数必须在封闭曲面包围的区域V内是连续的，但在图6.3-1中封闭曲面S1内，式（6.3-11）所定义的格林函数在P点为奇点，不满足在区域V内连续的条件。因此需要将

P点从积分区域排除，为此以P点为球心，ε为半径作一小球，球面为S2。曲面S1和球面S2所围的区域为V'，则在区域V'内，G（P）满足亥姆霍兹方程，即

U也满足亥姆霍兹方程，根据格林定理有

显然，在曲面S2上，内法线沿径向，于是有

式中，dΩ表示立体角，Ωε为S 2面相对P点所张的立体角。将式（6.3-11）代入上式可得

注意，在得到上式过程中用到条件及

P1为S2上的任一点。假设ε为无限小量，并且函数U及其导数在P点周围是连续的，则式（6.3-15）右边第二个积分趋于零而第一个积分变为4πU（P）。因此

将上式代入式（6.3-13）得到

或者

式中，r0是位矢r的单位矢量，式（6.3-18）为亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理，它给出一个重要结果:如果某一函数U满足亥姆霍兹方程，且函数U及其法向导数在某一封闭曲面上已知，则该函数在曲面内任一点的值都能够确定。