6.4 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论[1],[4]

如图6.4-1所示，在一个无限大不透明屏上开有孔径A，用一个点光源照明孔径，点光源在P0点，现在希望计算在孔径另一侧P点的场。假设孔径在xy平面内，以P点为中心，R为半径作一个球，该球在屏上截面为圆，截圆由两部分组成，一部分为孔径A，另一部分是在不透明屏上的那部分B。

下面将利用亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理来计算P点的场，而选择的积分曲面S包括:①球面C;②被照明的孔径A;③屏上未被照明部分B。这样，由式（6.3-18）得到

下面证明上式中C项随R→∞而趋于零。在曲面C上，n=-r0，r=R，因此有

式中，ΩC为球面C对P点所张的立体角。如果U满足

则在球面C上的积分为零。式（6.4-3）称为索末菲（A.Sommerfeld）辐射条件。这样只需计算A、B区域的积分值即可，即

为此，假设:

（1）在曲面B上，即刚好位于屏的不透明部分后面的积分区域，场U及其导数为零;

（2）在曲面A上，即屏开孔部分积分区域，场U及其导数与无屏时的值相同。

上面所述的假设称为基尔霍夫边界条件。应用这些边界条件，则有

假设从孔径A到P点的距离比波长大得多，则可将上面的积分进一步简化。在这个近似下有

于是得到

其中，α是矢径r与n之间的夹角。假设孔径A用从P0点发出的球面波照明，并假定满足基尔霍夫边界条件，则有

式中，ρ表示从P0点到孔径A上任一点的距离，于是有

其中，假设kρ≫1，即光源到孔径的距离比波长大得多;式（6.4-9）中，ρ0是矢径ρ的单位矢量，β是ρ与n之间的夹角。将式（6.4-9）代入式（6.4-7）得到

上式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。式中，因子cosβ-cosα称为倾斜因子，因为孔径的线度通常很小，故α、β分别近似为π、0，于是有

在很多情况下，孔径的线度很小，r与ρ在整个孔径A上无显著变化，因此被积函数的分母中r、ρ可用r'、ρ'来代替。r'、ρ'不妨分别选择为从孔径内的原点到P和P0点的距离。于是，式（6.4-11）可写为

菲涅耳-基尔霍夫衍射公式（6.4-10）中关于r与ρ是对称的，所以P0处点光源在P点产生的场与P处的点光源在P0点产生的场相同。这个结论称为亥姆霍兹互易（或可逆）定理。