6.1 惠更斯-菲涅耳原理[1],[2]

惠更斯是光的波动说最早的倡导者。他提出，介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射次波的波源，其后任一时刻，这些次波的包络面就是新的波阵面，这就是惠更斯原理。

用惠更斯原理可解释光在折射率不同的介质交界处的反射和折射规律，但不能回答为什么波不能自波前向后传播，也无法定量求出光波的强度分布。菲涅耳根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化了。他假设:

（1）各次波虽然是球面波，但这些球面是等相面而不是等幅面。球面上各点的振幅与传播方向有关，这避免了次波的向后传播。

（2）下一时刻空间任一点的振动由各次波到达该点的振动叠加所决定。

这种被具体化了的惠更斯原理，称为惠更斯-菲涅耳原理。

如图6.1-1所示，设波阵面为Σ，波阵面上Q点发出的次波在场点P产生复振幅dU（P），U0（Q）为Q点的复振幅，r为面元dS到场点P的距离。θ0、θ分别是源点S和场点P相对面元dS的方位角。假设:

（1）Q点发出的次波在场点P产生复振幅dU（P）与其所在的面元面积dS成正比，即

dU（P）∝dS

（2）在场点P产生的复振幅dU（P）与Q点的复振幅成正比，即

dU（P）∝U0（Q）

（3）因为Q点发出的次波为球面波，于是有

（4）Q点发出的次波在P点产生的复振幅dU（P）还正比于一个与传播方向有关的函数F（θ0，θ），即

dU（P）∝F（θ0，θ）

F（θ0，θ）称为倾斜因子。这表明由面元发射的次波不是各向同性的，而与传播方向有关，次波的波前是等相面，而不是等幅面。

根据以上假设可以写出

式中，K为比例常数。式（6.1-1）称为菲涅耳衍射公式，式中的积分曲面Σ不一定是光波的波阵面，它可以是将源点S和场点P隔开的任何一个封闭曲面。

菲涅耳所作的假设完全依靠朴素的直觉，后来基尔霍夫用严格的数学方法，得到与式（6.1-1）类似的结果，并给出比例常数K及倾斜因子F（θ0，θ）的具体形式，从而证明菲涅耳的设想基本正确，只是他给出的倾斜因子不对。

基尔霍夫导出比例常数K的表达式为

上式中的因子表明，我们必须假设等效次波源KU0（θ）的相位并非波前上该点扰动U0（θ）的相位，而是比它超前。这一相位差是必要的，它实质上是相干叠加的必然结果。这一点很重要。它保证了菲涅耳衍射公式在波的自由传播情况下不会给出矛盾的结论。

基尔霍夫导出的倾斜因子为

若θ0=0，按照式（6.1-3）可知:

（1）当θ=0时，F（0，0）=1。

（2）。

（3）θ=π时，F(0，π)=0。

这些结果与菲涅耳的直觉不同。菲涅耳设想:当θ=0时，F(θ0，θ)最大;随θ的增大，F(θ0，θ)

减小，且当时，F(θ0，θ)=0，即表明不存在向后传播的次波。

综上所述，菲涅耳衍射公式化为

式（6.1-4）称为菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。

【例6.1-1】 以光的自由传播为特例，验证惠更斯-菲涅耳原理，并证明菲涅耳衍射公式中的比例系数为

证明:设从波源S发出的球面波为，当它自由传播到r=R处的Q点和r=R+b处的P点时，复振幅分别为

不难验证，若用惠更斯-菲涅耳原理处理自由传播，则P点的场应等于第一个半波带的贡献U1（P）的一半，即

另外，由菲涅耳衍射公式

对第一个半波带，有F（θ0，θ）≈1，再由几何关系

于是有

故

但

对比可得

可以将菲涅耳-基尔霍夫衍射公式写成叠加积分的形式，即

式中

这一结果反映了光场的线性叠加性质。