初等行变换求解矩阵方程的教学探讨

理学院 郑鹏社 冷礼辉

摘要：矩阵方程的求解在“线性代数”与“高等代数”的教学中占据着重要地位。在教材中的解法是当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法来求解，但对于系数矩阵不可逆或者不是方阵如何求解并未提及。本文对系数矩阵不可逆或者不是方阵的矩阵方程通过利用初等行变换将方程的增广矩阵化为行最简形矩阵直接得出方程的解，使学生对于矩阵方程的认识更加完善。

关键词：线性代数；矩阵乘积；矩阵方程；增广矩阵；初等行变换

在线性方程组求解的教学和学习中初等变换都是非常重要的工具和方法。初等变换包括初等行变换和初等列变换。为了避免学生在求解过程中出现混淆，在教学中使用最多的方法是初等行变换。初等行变换的应用非常广泛，如求两个多项式的最大公因式、求矩阵的秩与可逆矩阵的逆矩阵、求向量组的秩及极大无关组、判定向量组的线性相关性、向量组之间互相线性表示的表示式、判定线性方程组和矩阵方程是否有解等。

另外，矩阵方程的求解是线性方程组求解中非常重要的一部分。矩阵方程简单来说就是未知数为矩阵的方程。对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，在教材中以及相关矩阵方程求解的相关研究中并未提及。本文尝试利用初等行变换对系数矩阵不可逆或不是方阵的矩阵方程进行求解，使学生对于矩阵方程的求解有一个完整的认识。

一、预备知识

定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换

（1）对换两行；

（2）以数k≠0乘某一行中的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另外一行对应的元素上去。

定义2（1）非零矩阵若满足：（i）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；（ii）每个台阶只有一行非零行；（iii）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素（首非零元），则称这样的矩阵为行阶梯形矩阵。

（2）更进一步，若行阶梯形矩阵满足：（i）非零行的首非零元为1；（ii）首非零元所在的列的其他元素都为零，则称其为行最简形矩阵。

注意：对于任何非零矩阵总可以经过有限次的初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。例如矩阵

其中A和B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵，而D不是行阶梯形矩阵。

定义4设A=（aij）是一个m×s矩阵，B=（bij）是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A和B的乘积是一个m×n矩阵C=（cij），其中

（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

把此乘积记作 Cm×n=Am×sBs×n

定理1矩阵方程AX=B有解的充要条件是R（A）=R（A，B），这里R（A）表示方程系数矩阵的秩，R（A，B）表示方程的增广矩阵的秩。

二、利用初等行变换快速获得齐次线性方程组的通解

矩阵方程求解中当系数矩阵可逆的求解教材中已经有详细讲解。下面通过具体例子阐述矩阵方程求解中当系数矩阵不可逆时如何求解。这里的例子均为有解的情况。

例1 求解矩阵方程AX=B，其中

此题中的系数矩阵为4×3阶矩阵，不是方阵，因此肯定不可逆，也就不能用教材中的方法求解，这里首先还是利用教材中的方法对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简型矩阵，然后利用矩阵乘积的规则即可得到方程的解。

解：对矩阵方程的增广矩阵进行初等行变换得到行最简行矩阵：

此时根据定义4知此题中的矩阵方程为

则在（1）中B元素对应到行最简行的元素从上到下依次取X对应阶数的元素即为方程的解，即此题的解为

代入原方程即可得到验证。

下面给出利用初等行变换求矩阵方程AX=B基本步骤：

第一步：将增广矩阵（A，B）通过初等行变换化为行最简形矩阵；

第二步：确定方程中X的阶数；

第三步：在行最简行中B元素对应到行最简行的元素从上到下依次取X对应阶数的元素即方程的解。

三、应用实例

下面通过两个例子验证上述方法的有效性，例2求解矩阵方程AX=B，其中

解 对增广矩阵进行初等行变换

从方程可确定X为3×2阶矩阵，即

例3 求解矩阵方程AX=B，其中

解 对增广矩阵进行初等行变换

从方程可确定X为2×3阶矩阵，即

结语

利用上述方法求解矩阵方程扩大了方程的求解范围，使矩阵方程的求解理论更加完善。在教学过程中教师通过适当的引导，鼓励学生勇于探索、勇于创新，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

参考文献

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