工形截面圆弧曲梁的弯曲和扭转

童根树

（浙江大学土木系）

提　要　现有的薄壁截面曲梁弯扭理论缺少严密的理论推导，本文从薄壁杆件理论的两个基本假定出发，以两种放置的工形截面曲梁为对象，详细地推导了其正应力，剪应力及各自的合力表达式，建立了基本微分方程。推导发现，现有的弯扭理论在翘曲约束扭矩及有关的公式中存在不足。本文为建立正确的薄壁截面曲梁弯扭理论指明了途径。

关键词　薄壁杆件，曲梁，弯曲，扭转

一、引言

薄壁钢曲梁在桥梁工程中得到广泛应用，工业厂房中因工艺要求也常应用曲梁。例如武钢三号高炉环形出铁场应用圆弧形钢吊车梁。为了方便应用，《钢结构设计手册》［1］列入了工字钢圆弧曲梁的设计图表和公式。

据文献［2］，对薄壁曲梁弯扭问题的研究最早是St.Venant进行的，比较完善的理论由Vlasov〔3〕建立，Dabrowski〔4〕对Vlasov的工作进行了一系列的补充，尤其是对约束扭转问题。Timoshenko〔5〕对曲梁进行过研究，但因研究对象是无翼缘的矩形截面曲梁，略去了翘曲扭转的影响。对曲梁稳定性及振动特性进行研究的文献有［6，7，8，9］，Kristek〔10〕系统地论述了箱形截面曲梁的各种计算方法。

以上研究工作采用的方法是将直梁的内力位移关系，考虑曲梁的初曲率影响加以修正，获得曲梁的内力位移关系，代入内力表示的平衡微分方程［3，10］或系统的总势能表达式［9］，从而求得基本平衡微分方程。对于曲梁自身平面内的变形或失稳，这种方法已被证明是可行的。但对平面外的弯扭分析，不同的研究者有不同的结果，尤其是翘曲位移、翘曲应力、翘曲扭矩和双力矩等项，文献［3，4，9，10］就不完全一致。文献［11］第一次从基本假定出发建立工形截面曲梁弯扭屈曲理论，但仅仅适用于双对称截面。

本文以单轴对称工形截面圆弧曲梁为对象，从薄壁杆件理论的两个基本假定出发，建立其弯扭理论，得出了精确的翘曲位移、翘曲应力、约束扭矩、双力矩的公式。本文为建立正确的曲梁弯曲扭转理论提供了一条途径。

二、理论推导

工形截面圆弧曲梁有如图1所示的两种形式，一种是腹板在圆弧所在平面内（图1a），另一种是腹板垂直于圆弧平面（图1b）。前者应用于拱式结构中，后者常用于悬挂式吊车系统中。设截面形心线的半径为R。推导圆弧曲梁的基本方程采用薄壁杆件理论中的两个基本假定：（1）截面形状在其本身平面上的投影在变形过程中保持不变，（2）薄壁中面的剪应变为零。设薄壁中面上任意一点在x，y方向上的位移为和，翘曲位移（即z方向的位移）为。杆件变形时剪切中心s（xs，ys）的位移为u和v，扭转角θ，θ以使x轴向y轴方向转时为正（逆时针为正）。下面分别对两种情况推导各自的基本方程。

2.1　腹板在圆弧平面内的情况

2.1.1　翘曲位移

如图2a所示，工形截面的三块板分别记为①、②、③，形心处的翘曲位移为w，板件③在极坐标r-φ中的中面剪应变为〔12〕：

根据假定（2），γrφ=0。由刚周边假定，腹板上与r无关，只是φ的函数，即=u。以后记。由（a）式

与直杆不同，不能通过直接积分求得翘曲位移。但是上式（b）仍然是可求解的。上式的解为

式中C是待定常数。因r=R时=w，所以腹板③上的翘曲位移为

板件①实际上是圆柱面的一部分。圆柱面的中面薄膜剪应变为〔12〕

由刚周边假定，板件①的y方向位移与剪心位移v和扭转角θ的关系为

且与y坐标无关。注意此时∂（.）/∂z=∂（.）/R∂1φ=（.）'/R1。由中面剪应变为零可得

待定常数由板件①和③交点处翘曲位移相等条件确定：

板件①的翘曲位移为

同理可得板件②的位移

综合（1）、（2）、（3）式，截面中面上的翘曲位移可统一表示为

2.1.2　截面上的正应力及其合力

截面上的正应力即为环向应力，由环向应变求得：

将（4）式代入（6）式：

记正应力的合力如下

将（5）（6）式代入（7a，7b，7c，7d）式可得

以上各式中Ix1=t1/12，Ix2=t2/12，A1=b1t1，A2=b2t2，Aw=htw。

当b1，b2，h等与R相比很小时，以上各式可以进行简化，得到如下较精确的简化式：

2.1.3　中面剪应力及其合力

利用微元体平衡方程可求得薄壁中面剪应力。设各板件中面剪应力正方向如图2a所示。板件①和板件②的剪应力比较简单：

式中“+”用于-bi/2≤y≤0，“-”用于0≤y≤bi/2。腹板③上的中面剪应力按如下方式求得。腹板处于极坐标系中，微元体平衡方程为

将σ代入可得

与直杆不同，不能通过直接积分求得τ，但上式一阶微分方程是可解的，其解为

利用腹板和翼缘交点处剪力流连续条件可以决定上式的常数C。最后得到腹板的剪应力为

由以上各式求得剪力Qx，Qy和约束扭转力矩Tω：

在qz=0时有w"+u'=0，以上各式可简化为以下较精确的近似式

2.1.4　自由扭转力矩

与直梁不同，在曲梁中，圆弧平面外的位移v会在截面上产生类似于直杆中自由扭转的剪应变。设J为截面自由扭转常数，则自由扭转力矩为〔5〕

2.2　腹板垂直于圆弧平面的情况

由2.1节知，圆弧曲梁公式推导与直梁主要的不同在扇形板上，对图lb上下两翼缘板（扇形圆环板）的推导与对图1a腹板相似，因此下面直接给出翘曲位移和简化的内力计算式：

翘曲位移：

自由扭转力矩与（16）式相同。其余内力简化式为：

2.3　平衡微分方程

将曲梁截面上各内力表示式代入内力平衡方程可得用位移表示的平衡微分方程。内力表示的平衡方程为

式中qx，qy是作用在剪心的横向分布荷载，mz为分布扭矩，qz是形心线上的分布轴向荷载。将各内力表达式代入可得如下方程：

对图1a截面：

对图1b所示截面：

三、比较和结语

本文从薄壁构件理论的两个基本假定出发，详细地推导了两种放置的单轴对称工形截面圆弧曲梁双向弯曲和扭转的基本理论。由导得的一系列公式可知：

（1）精确的曲梁弯扭理论是比较烦琐的，许多在直梁中消失的项在曲梁中不消失，从而导致表达式冗长。

（2）简化的式子比精确式简单许多，但不同放置（从而是不同截面）的梁有不同的简化式，给建立统一理论带来不便。

（3）过去的研究者〔3，9〕大多采用如下推理来解决曲梁约束扭转问题：因为在直杆中有

在曲杆中有，所以曲杆中的约束扭矩和双力矩为

本文通过工形截面曲梁弯扭理论的严格推导表明上述推理是不对的。两种放置曲梁的双力矩和约束扭矩公式与上式都不同。

（4）笔者就双轴对称工形截面曲梁两端固定承受均布垂直荷载和均布扭矩的情况，用本文理论和Vlasov理论进行了计算对比，详细的结果限于篇幅不便给出。但结果表明，Vlasov理论与本文理论结果在工程应用参数变动范围内差别极小。这说明现行钢结构设计手册给出的表格仍然可用。但Vlasov理论只适用于双对称截面曲梁。

（5）已经有许多学者研究表明，Vlasov的类比推导方法用于研究稳定问题时会导致错误的临界荷载。因此必须寻求新的理论。笔者从基本假定出发导得了任意开口薄壁截面圆弧曲梁精确的弯扭理论，将另文给出。

参考文献

［1］罗邦富等，《钢结构设计手册》，中国建筑工业出版社，北京，1989

［2］McManus，P.F.，Nasir，G.A.，Culver，C.G.，Horizontally curved girders--State-of-the-art，J.of Structural Division，ASCE，Vol.95，No.5，May，1969

［3］Vlasov，V.Z.，Thin-walled elastic beams，2nd Edition，National.Science Foundation，Washington D.C.，1961

［4］Dabrowski，R.，Zur Berechnung von gekrummten dunnwandigen Tragern mit offenem Profil.Stahlbau，Vol.33，No.2，Dec.1964

［5］Timoshenko，S.P.，Gere，J.M.，《弹性稳定理论》，2nd Edition，科学出版社，北京，1965

［6］Cheney，J.A.，Bending and bucling of the thin-walled open-section ring，J.of Engineering Mechanics，ASCE，Vol.89，No.5，Oct.1963

［7］Ojalvo，M.，Demuts，E.，Tokarz，F.，Out-of-plane buckling of curved members，Journal of the Structural Division，ASCE，Vol.95，No.10，Oct.1969

［8］Yoo，C.H.，Fehrenbach，J.P.，Natural frequencies of curved girders，J.of Engrg.Mechanics，ASCE，Vol.107，No.2，April 1982

［9］Yoo，C.H.，Flexural-torsional stability of curved beams，J.of Engrg.Mechanics，ASCE，Vol.106，No.6，Dec.1982

［10］Kristek，V.，Theory of Box Girders.John Wiley ＆ Sons，Chichester，1979

［11］Yeong，Y.B.，Kuo，S.R.，Static stability of curved thin-walled beams，Journal of Engineering Mechanics，Vol.112，No.8，August 1986

Bending ＆ Torsion of Monosymmetric I-shaped Circular Beams

Tong Gen-shu

（Zhejiang University）

Abstract　This paper made a detailed derivation of the basic equilibrium differential equations for the bending and twisting of thin-walled monosymmetric I-shaped horizontally-curved beams.The derivation is based on the two well-known basic aassumptions of thin-walled straight members.Formulae are given to calculate the warping displacements，normal and shear stresses and their resultants.It is found that the current Vlasov's theory for thin-walled curved members is not problem-free in its way of treatment of the warping torsion problem.

Key words　curved beam，thin-walled member，beinding，torsion