·结构稳定研究·

钢梁整体稳定验算的实用相关方程

崔　佳　戴国欣　李开禧　　　　周绥平

（重庆建筑大学）　　　　　　　　　（重庆建筑高等专科学校）

提　要　本文论证了影响钢梁弯扭屈曲承载能力的两个独立临界力因素，通过理论计算及其对两临界力因素相互作用关系的分析，提出钢梁整体稳定验算的实用相关公式。

关键词　临界双力矩，临界力因素，相关公式，等效弯矩系数

一、前言

我国现行《钢结构设计规范》（GBJ17-88）对梁在弹性工作阶段侧向弯曲扭转的计算已有很多研究成果［1］。由于影响钢梁临界弯矩的因素较多，平衡微分方程的求解也较困难，故难免在实用计算方法上存在力学概念不够直观，有关参数尚欠准确的缺点。如在T形截面梁中，认为当弯矩方向使翼缘受拉时不存在整体失稳问题，而取φb=1，显然不尽合理。本文认为，钢梁的整体稳定承载力事实上是由两个独立的临界力因素——弯矩和双力矩交互影响的结果，只有在梁整体稳定验算过程中理顺这两个力学量之间的关系，才能通过全面的计算分析，整理出直观、简捷的实用计算公式。

二、两个独立临界力因素的概念

如图1（a）所示，工字钢梁的跨中作用一集中力Q，它的作用点O到弯曲中心s的距离为ay。若在弯曲中心处添加一对等值、反向，数值仍等于Q的集中力，这个平衡力系显然不影响梁的应力分布。图1（a）所示受力情况等效于图1（b）、1（c）两种受力情况的叠加。图1（b）所示为跨中截面弯曲中心处作用一集中力Q的简支梁，其侧向弯扭失稳时最大弯矩的临界值计算是我们已经熟悉的问题。即：

M0=1.35Mcr

或改写为

式中，Mcr表示纯弯曲时弯矩的临界值，即：

等式右端括号内的值是文献［2］中已论证过的临界双力矩，用符号Bcx表示，即

需要说明的是，图1（c）所示两作用点相距为ay，大小等于Q的一对自相平衡力在扭转变形时会构成新的临界力因素。因为，设想由于干扰而使跨中截面产生扭角θ0且Q力的方向不变，按小变形假定，跨中外扭矩应为Qayθ0。扭角为θ的任一截面上，内、外扭矩平衡方程应为（当0≤z≤l/2时）：

式中，EIω，GIk分别为截面的翘曲扭转刚度和自由扭转刚度。对上式积分一次并根据铰支端截面处扭角θ=0和双力矩等于零（即θ"=0）的边界条件，得内外双力矩的平衡方程为：

EIωθ"-GIkθ=-Mayθ0

式中，M=Qz/2，即距原点为z截面上的弯矩。显然，Mayθ0为该截面的外双力矩。

按照文献［3］所介绍的“拉弯比拟法”，按以上方程所算出的跨中扭角为：

式中，M=Ql/4，即跨中截面的弯矩。上式化简后得：

M0ay=1.216（GIk+π2EIω/l2）=1.216Bcr

若把M0ay用双力矩符号B0表示，则得钢梁在图1（c）所示受力情况下绕z轴扭转失稳的临界条件为：

从（1）、（2）两式中已经不难看出，图1（a）所示梁的稳定问题事实上是两个独立临界力因素M0、B0的相互作用问题。它在力学性质上和“偏心压杆”的作用相似，对偏心压杆而言，截面上的轴力和弯矩都是由偏心压力所引起，但轴力和弯矩是两个不同的临界力因素，各自有相应的临界值，两者同时存在时，交互作用的结果常使两者之间形成非线性关系。而对图1（a）所示梁而言，扭转变形使其产生附加“偏心弯矩”，即附加双力矩，它也有自身的临界值。因而，只有在临界双力矩概念的基础上表达该双力矩的作用，才能正确反映它的效应。

三、计算方法及结果分析

图1（a）所示梁当处于临界状态时，通过对y轴的弯矩平衡方程和对z轴的扭转平衡方程化简后，可得：

把以上方程等效地理解成变轴力作用下弹性杆件的内外弯矩平衡方程，再根据文献［4］所介绍的杆端变形增量之间的相互关系处理边界条件，则上式很容易按CDC法求解。换言之，通过比拟方法，把梁的弯扭问题转换成柱的屈曲问题，能大幅度地简化求解工作。

求解时边界条件的确定应特别注意。对工形截面，当我们把上、下翼缘视为沿侧向弯曲的两片梁，并略去翘曲扭矩所产生的剪切变形时，由该梁的转角连续条件导出跨中截面扭角的一阶导数=0，即该截面处自由扭转扭矩GIk=0，若该截面存在外扭矩的作用，则全由翼缘内剪力所组成的翘曲扭矩承担。这当然只有翼缘的弯曲刚度较大时才和上述认识相符，反之，则会引伸出错误结论。

例如，翼缘宽度很小，甚至退化成窄矩形梁，若仍令跨中边界条件为=0，逻辑上引伸为自由扭转刚度无穷大。本例中，相当于略去外扭矩Qayθ0/2的作用，导出无论偏心距ay的数值是多少，构件的承载能力均相等的结论，这显然是一种“失真”现象。可见，当EIω=0时，除方程（3）由四阶降为二阶外，重要的区别还在于它们的边界条件不同，由此所算得的解可能是不一致的。

为了表明这一现象，我们以组成临界双力矩的两项之比为参变数，即令：

按前一种方法（即跨中截面扭角的一阶导数=0）算出当ξ=10时弯矩的临界值，并绘制成（M0/Mcr）2-M0ay/Bcr相关曲线如图3（a）中的实线1所示。同时，又取ξ=0，按第二种方法（即=0）算出相关曲线如点划线2所示。因此，曲线1、2可视为同一计算模型按两种不同的计算理论导致的相异结果。

为了更形象地说明这一特征，我们暂把第一种计算方法称为“弯曲理论”，第二种计算方法称为“剪切理论”，则上述计算结果不衔接的原因将更加清楚，是由于它们各自立足于不同的理论基础之上。反之也说明，如果我们进一步考虑到翼缘的剪切变形，整理成新的计算方法，则ξ为各种值时的计算结果能自然闭合。由此可见，在图3（a）中，曲线1到2所包括的范围实际上是ξ由零到无穷大时该相关曲线的过渡区，或者更直观地解释为随着翼缘宽度的由大到小，相关曲线对应地由1到2。这是今后拟定规范设计公式时应该注意的问题，不宜仅以曲线1作为理论依据，而应从该分布带中结合应用区域选取有关参数。

当截面仅有一对称轴（如图2所示）时，由于扭转变形使弯曲正应力产生附加扭矩，其值为：

式中，y为考察点到主轴x的距离；Iz为全截面对主轴x的惯性矩；r为考察点到弯曲中心s的径长；表示形心c到弯心s的距离。以弯心为原点的坐标系已示于同图中，以y=+代入上式并化简后得：

式中，I0为截面对s点的极惯矩。by的单位为长度，它和ay一样具有重要的力学意义。

按（5）式计算的附加扭矩，应等于合成后的剪力对弯曲中心之矩。该式括号内的数值为微截面dA处的剪力，其方向和向径r正交。从图2中已可看出，这组分布剪力只能合成为水平剪力，令各微剪力与竖直轴的交角为α，则合剪力的数值为：

由主轴x通过形心合成后的剪力为Mθ'，而by为该合剪力到弯心的距离，它和ay一样都是剪力产生扭矩的臂长。（6）式的计算并不困难，不宜再简化而损失精度。

由此已能定性地看出，当外力作用在梁的上方时，宜加大翼缘宽度，使弯曲中心上移，既可减小ay值，即减小了扭转时外荷载所产生的附加扭矩，又可加大by值，即增加了正力所组成的约束扭矩，从而提高构件的承载能力。

在跨中集中力作用下，单轴对称截面梁的临界弯矩值可按同样的方法计算并绘出（Mo/Mcr）2-M0by/Bcr相关曲线如图3（b）所示。图中，由实线1到点划线2亦可理解为截面由单轴对称工字形过渡到T形时临界弯矩的分布带。

满跨均布荷载作用下同样可以给出类似的相关曲线（从略），而单轴对称截面梁纯弯曲变形时的临界弯矩值可用解析法求解，这是我们已经熟悉的，不再赘述。

文献［1］的计算结果与图3中的曲线1非常接近，最大误差均在5％以内，可以说，我国规范是以曲线1作为理论依据，而本文则认为理论值存在不同宽度的分布带。

四、建议相关公式

根据上述理论分析，本文建议对钢梁临界弯矩值的计算可采用如下实用相关公式：

式中，βaxx称为梁在侧向失稳时的等效弯矩系数，纯弯曲时取βaxx=1，满跨均布荷载作用时取βaxx=0.9，跨中集中力作用时取βaxx=0.75。相应的相关直线3亦用虚线绘于图3中，以作比较。

采用如上相关公式的理由是：

1.力学涵义直观。以=NyBcr代入上式得：

从上式中能清楚地看出，提高梁承载能力的首要措施是加强其抗扭转能力，即增大Bcr值。其次才是加强侧弯刚度，提高Ny值。因为，即使侧弯刚度增至无穷大（等效于侧向支承的作用），构件的承载能力也由第二项控制。

左端第二项的分子为外力产生的附加双力矩，将该双力矩的臂长直接用（ay+by）表示，有利截面形状的设计。如要消除荷载的偏心效应：可调整截面尺寸，使by=-ay，第二项的作用即可忽略不计。

2.取值合理。由上面的讨论已知建立临界双力矩Bcr的概念并用以反映附加外双力矩的作用是完全必要的。何况在常用范围内，第二项所占的比例也是较大的。例如，在双轴对称截面中，荷载作用在上翼缘，暂不计自由扭转刚度，（7）式简化为：

可解得第二项为0.618，即相关曲线的常用范围大约是B0/Bcr在±0.618之间。由于工程中的梁翘曲刚度多数不为零，可见，实用相关曲线3介于曲线1、2之间并偏于曲线1是合理的。

3.公式简洁。（7）式只采用了一个系数βaxx，和压弯构件面内弯曲时等效弯矩系数的概念一致，不再需要附加表格。

我国规范所采用的表达式相当于把（7）式展成台劳级数并只取前面两项，即由

再改为：

以代入上式并整理得

在等式右端，取βaxxM0=Mcr，并用符号ηb表示by和梁高h之比，再以Iy（h/2）2代替Iω，以（4）式定义的系数ξ代入得：

等式右端为单轴对称截面纯弯曲梁临界弯矩的算式，再改为：

当取ay/h为±0.5时

当βax为0.9、0.75时，对应的四根βb-ξ曲线如图4所示，它们是以βb=1/βaxx为渐近线的曲线。当ξ较小时，可用直线拟合。由于（9）式只是（7）式的近似式，存在一些偏差，故当ξ=0时，按（8）式求解，即分别为0.618、1.618与1.11及1.33的乘积。当ξ=2时，按（11）式计算βb值，即分别为0.776、1.224与1.11及1.33的乘积。然后对应各点相连如图4所示，即为βb-ξ的线性表达式。

作如上对比，其目的在于说明，规范采用的式（10）只是式（7）的近似表达式。由于ay、by的取值存在误差，因而又再引用有关参数予以调整。由于式（10）中没有ay出现，它和by的互补效应完全消失，对设计截面的合理形状不利，这正是实用时应该解决的问题。

参考文献

［1］钢结构设计规范（GBJ17-88）条文说明，中国计划出版社，1989

［2］李开禧、崔佳，临界双力矩的概念及其应用，重庆交通学院学报，2期，1992

［3］李开禧，弹性薄壁杆件，中国建筑工业出版社，1990

［4］李开禧、须宛明，钢梁柱杆端变形增量的相关方程，重庆交通学院学报，4期，1989

Interaction Equation for Evaluating the Critical Moment of Steel Beams

Cui Jia　Dai Guoxin　Li Kaixi　　　　Zhou Suiping

（Chongqing Jianzhu University）　　　　　（Chongqing Architectural College）

Abstract　This paper proves that the bearing capacity of steel beams depends on two independent critical force.Corresponding to the numerical results，practical interacting equation is proposed for evaluating the critical moment of steel beams.

Key words　critical bimoment，critical forces，interaction equation，moment factor