树的影子有多长

回忆过去的时光，很多事情我都觉得特别简单，甚至简单到幼稚。可有一件事，现在想来仍然让我觉得很惊奇，那个场景就像看了一场精彩的魔术表演一般，发生的一切历历在目：一个秃了顶的守林人，拿着一件袖珍型的小仪器站在一棵高大笔直的松树附近，看得出来他在准备测量这棵大松树的高度。我停下来，专注地看着，想看他是如何爬到树顶去测量的。只见他将一块四方形的木板对着树梢瞄了一下，然后将那件袖珍的测量仪器放回口袋里。这时我以为这个守林人马上就要拿着皮尺爬到树上去了，可结果却让我有些许的失望，因为我想看到的事并没有发生，测量以让我完全意外的方式很快完成了。他并没有爬上去，而是跟大家说已经测量完了——可我却认为测量还没有开始呢。

些许的失望情绪瞬间就消失得无影无踪，取而代之的是惊讶，当时的我还特别年轻，根本不能理解这种既不需要爬到树顶去，也不需要把大树砍倒来测量高度的方法，这么神奇的事情充满了魔力，这个问题始终萦绕在我的心头，这个秃顶的守林人是如何做到的呢？一直到后来接触到初等几何学之后我才明白，多年以前的难题原来那么简单。像那种只利用最简单的仪器，甚至根本不需要使用什么东西进行测量的方法，还有很多很多，而且每一种方法都是捷径。

其中最古老也是最简单的方法，是古希腊哲学家泰勒斯测量埃及金字塔高度的方法。泰勒斯生活在公元前6世纪，是伟大的思想家、哲学家、科学家。他测量金字塔高度的方法比较古老也比较简单，他是利用金字塔的影子来测量的。

埃及是神秘而古老的国家，同样神秘的还有雄伟壮观的金字塔。在金字塔建成后不久，埃及法老看着雄伟壮观的金字塔，不禁猜测它到底有多高。其实不仅是埃及法老，很多人都在猜测它的高度，但当时没有先进的测量仪器以及测量方法，人们对这一庞然大物，根本无从下手。金字塔到底有多高这个问题一时之间成了一个大难题。这个难题直到泰勒斯的出现，才得以解决。

在测量金字塔的高度之前，法老和祭司们举办了隆重的祭祀仪式。祭祀结束后，法老和祭司都聚集在一座最高的金字塔脚下，都很期待这位来自异域的远方来客能够解决这个困扰他们多年的难题。

传说，泰勒斯的方法是靠影子来测量。他选择在他的影子长度恰好跟他的身高相等的时间点进行测量，因为这个时候金字塔的高度也就等于它投下的影子的长度，这或许是泰勒斯与众不同的地方——能够把影子当成测量工具。

这个方法在今天看来特别简单，甚至连孩子们都会觉得非常容易。然而，我们要知道现在的我们是在泰勒斯及很多前人耗费大量心血建立起来的几何学的基础上来看这个问题的，也就是说我们是站在了“前人的肩膀”上来看这个问题的。

看到这里如果你认为这个测量影子的方法似乎有些地方还欠考虑的话，说明你真的动脑子了。因为金字塔特殊的结构，金字塔是底部为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形，泰勒斯同样明白这个问题。因此当他测出金字塔高度的时候，有人觉得他是在欺骗人们，只用一把尺子再借助影子是无法测出金字塔的高度的。泰勒斯并没有为自己辩驳，他在沙地上用手指简单地画了几笔，质疑他的人顿时就闭上了嘴巴。

原来，当测量金字塔的高度时，泰勒斯站在沙地上，他和影子构成了一个等腰直角三角形。换言之，这时金字塔的高，也就是底面中心到顶点的垂线和影子的底面中心到顶点的连线构成了一个等腰直角三角形，这样一来测量高度就变成了测量影子长和底边边长一半的和。至于塔底的长，泰勒斯是可以很方便地直接测量出来的。

这里面所提到的三角形的几何性质也就是我们现在都知道的两个特性：

1.等腰三角形的两底角相等，反过来说，三角形的两角相等，它们的对边必然相等。

2.任意三角形的三个角的总和等于180°。

泰勒斯就是运用相似三角形的性质测量金字塔的。公元前300年左右希腊数学家欧几里得写了一部阐述几何知识的书，他死后的两千多年来人们一直都用这本书传承几何学。这本书里所讲的知识，虽然今天每一个中学生都知道，但在泰勒斯的时代还没有被发现的这些知识，被他用于测量金字塔的高度。

泰勒斯正是因为知道这两点知识，才能断定，当他的影子等于他身高的时候，太阳光是以等于直角的一半的角度射向水平面的。因此可以知道，金字塔的顶点、塔底的中心点和塔影子的顶点三者，恰好形成一个等腰三角形。

在天气晴朗时，用这个方法测量大树的高度是很方便的。当然大树最好是孤立的，不会出现树影重叠的现象。当然这还要考虑太阳升起的高度问题，如果高度不够的话，泰勒斯的这个办法是不能使用的。要在午前后的短暂时间里，大树投出的影子等于大树的高度才可以。

不过，只要把泰勒斯测量金字塔的方法稍微变更或者升级一下，使它可以在有太阳的时候利用阴影。这样我们只要能够测量出大树的影子长度，自己的身体长度以及自己影子的长度，就可以用比例算出所要测量的大树的高度，如图1所示。

AB：ab=BC：bc

这是因为树影的长度是你身体影子长度的N倍，树高也恰好是你身高的N倍。这是从几何学中两个相似三角形的关系属性得出来的。

可能有些人会提出不同的意见，认为像这样简单的测量，根本用不到几何学来求证：难道没有几何学，就不知道大树高多少倍它的影子也就长多少倍吗？

可是有的时候很多事情并非如想象中那么简单。为了验证这种不同的意见，我们不妨把这个规则延伸到路灯灯光投下的影子上，就知道正确与否了。

如图2所示，已知木桩AB的高度是小木棍ab高度的3倍，但是在路灯灯光的照射下，经过测量我们发现木桩影子长度是木棍影子长度的7倍。从这里就可以看出，所提出的不同意见明显是经不起推敲的。为何同样的情况在一种条件下行得通，换一种情况就行不通了呢？要想解释清楚这个问题，还得依靠几何学。

让我们来认真地分析一下，测量大树的高度和测量木桩的高度的区别在哪里。只有可依赖的条件不同，一个是太阳光线，一个是路灯光线。太阳距离大树遥不可及，路灯距离木桩却很近。遥不可及的太阳射过来的光线可以认为是平行的，而近距离的路灯射来的光线却不是平行的。路灯很近，通过肉眼就可以直接观察出路灯射来的光线是不平行的，可为什么就能认为太阳射来的光线是平行的呢？

其实太阳射出的光线也并不是绝对平行的。射到地面上的太阳光线之所以被看作是平行的，是因为每一道光线之间的角度太小了，小到完全可以忽略不计。这一点，可以利用几何学的知识来证明。我们假定一个场景，太阳上的某点发出了两道光线，它们射到地面上的某两点，这两点之间的距离假设是1千米。

这就是说，如果我们把圆规的一只脚放在太阳发出光线的那一点上，把另一只脚用太阳到地球的距离做半径画一个圆（太阳到地球的距离为149597870千米，这里为方便计算，取其整数为1.5亿千米），夹在两条光线之间的弧长是1千米，而这个巨大的圆的周长就应该是C=πd=2πr，也就是2π×150000000千米=940000000千米。由此可以推出，这个圆上的每一度的弧长是圆周长的，也就是940000000千米除以360，大约等于2600000千米，每一分的弧长是每一度的，就等于43000千米，而每一秒的弧长又是每一度的，就等于720千米。

而我们假定的两点之间的距离只有1千米，由此可知它所对应的角度只有秒，这样的角度根本就是微不足道的，完全可以忽略不计。因此，我们完全可以将太阳光线看作互相平行的直线。这里需要强调一下，这里的将太阳光线看作是互相平行的直线，只是在我们视力所及的范围内。如果太阳光射到地球直径的两端，那就是另外一回事了，这里暂时不做讨论。

如果我们对上面这些几何知识什么都不懂的话，那么刚刚谈到的利用影子测高度的方法，就根本不可能实现了。

到了这里我们谈论的话题还没有结束，还有更复杂的问题在等待着我们去解决，这就是半影的问题。

当我们用以上的方法去实地测量的时候，你马上就会发现这个方法存在问题，并没有上面论述的那么准确，而且还面临着一个模棱两可的问题，那就是到底哪里才是影子的尽头。当我们找到一棵松树准备进行测量时，会发现影子的尽头并不是很分明的，而是有一个轮廓不清的半影，正是这个半影的存在，导致影子的长度不能最终确定，从而导致测量的数据不够准确。这又是怎么回事呢？

这是太阳光线的缘故。由于太阳并不是一个点，而是一个巨大的发光体，比地球大很多倍的发光体，光线是从它表面上许多点射出来的，这是光线所造成的结果，如图3所示。

图3中，我们可以看到树影BC会多出一段逐渐消失的半影CD，半影两端C、D跟点A所形成的角CAD与我们看到原面所夹的视角是相同的，就是半度，这点在后面的章节中会有所论述。

由于阴影的距离不分明，这样测量之后会出现不完全准确的情况，即存在测量误差，即使太阳的位置达到测量的理想的状态，也可能出现5%左右的误差。这个误差再加上其他不可避免的客观条件，比如地面凹凸不平，都会使测量结果出现误差。如果是在丘陵、山地等条件下，这个方法就要被彻底放弃了。