3.2.2 伯努利试验、二项分布

设试验E只有两个可能结果：A及Ā，则称E为伯努利（Bernoulli）试验。

设P（A）=p（0＜p＜1），此时P（Ā）=1-p。将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

◆“重复”是指在每次试验中P（A）=p保持不变。

◆“独立”是指各次试验的结果互不影响，即若以

C_i记第i次试验的结果，C_i为A或Ā，i=1，2，…，n。

p（c₁c₂…c_n）=p（c₁）p（c₂）…p（c_n）

n重伯努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。

例如，E是抛一枚硬币观察得到正面或反面，A表示得到正面，这是一个伯努利试验，如将硬币抛n次，就是n重伯努利试验，又如一颗骰子，若A表示得到“1点”，A表示得到“非1点”，将骰子抛n次，就是n重伯努利试验。

再如在袋中装有a只白球，b只黑球，试验E是在袋中任取一只球，观察其颜色，以A表示“取到白球”，P（A）=a/（a+b），若连续取球n次作放回抽样，这就是n重伯努利试验，然而，若作不放回抽样，虽每次试验都有P（A）=a/（a+b），但各次试验不再相互独立，因而不再是n重伯努利试验了。

以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律，X所有可能取的值为0，1，2，…，n。由于各次试验是相互独立的，因此事件A在指定的k（0≤k≤n）次试验中发生，在其他n-k次试验中A不发生（例如，在k次试验中A发生，后而n-k次试验中A不发生）的概率为

这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，故在n次试验中A发生k次的概率为，记q=1-p，即有

显然

即P（X=k）上面满足条件，注意到刚好是二项式（p+q）n的展开式中出现pk的那一项，随机变量X服从参数为n，p的二项分布，并记为X～b（n，p）。

特别情况下，当n=1时二项分布化为

P{X=k}=pkq1-k，k=0，1

这就是（0-1）分布。

例3-8： 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。

将一次射击看成是一次试验设击中的次数为X，则X～b（400，0.02）。

X的分布律为

于是所求概率为

P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}

=1-（0.98）400-400（0.02）（0.98）399=0.9972

解： MATLAB程序如下。

运行结果见图3-4。

例3-9： 如果一支棒球队有50%的机会赢得任何一场比赛，那么这支球队在162场比赛中赢得的合理范围是什么？

解： MATLAB程序如下。

根据结果可知，在90%的棒球赛季中，一支500人的球队应该能在71～91场比赛中获胜。

例3-10： 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500h的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只。问20只元件中恰有k只（k=0，1，…，20）为一级品的概率是多少？

这是不放回抽样，但由于这批元件的总数很大，且抽查的元件的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理，这样做会有一些误差，但误差不大。我们将检查一只元件看它是否为一级品看成是一次试验，检查20只元件相当于做20重伯努利试验。以X记20只元件中一级品的只数，那么X是一个随机变量，且有X～b（20，0.2），得所求概率为

将计算结果见表3-15。

解： MATLAB程序如下。

运行结果见图3-5。

图3-5中看到，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加，直至达到最大值（本例中当k=4时取到最大值），随后单调减少。一般情况下，对于固定的n及p，二项分布b（n，p）都具有这一性质。