1.3.3 矩阵元素函数

矩阵建立起来之后，还需要对其元素进行引用、修改。表1-27列出矩阵元素的引用格式，表1-28列出了常用的矩阵元素修改命令。

例1-32： 矩阵元素的引用。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例1-33： 扩充矩阵。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

不但矩阵元素可以引用修改，矩阵的维度和方向也可以进行变换，常用的矩阵变维命令见表1-29。

1.矩阵的旋转

在MATLAB中，rot90命令用于将数组旋转90°，该命令的格式与说明见表1-30。

例1-34： 旋转矩阵示例。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

2.矩阵的镜像

在MATLAB中，flip命令用于镜像矩阵，翻转矩阵元素，该命令的格式与说明见表1-31。

数组的镜像变换实质是翻转矩阵元素的操作，分为两种，包括左右翻转与上下翻转。

◆ flip（A，1）将翻转每一列中的元素。

◆ flip（A，2）将翻转每一行中的元素。

例1-35： 数组上下翻转示例。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

在MATLAB中，还包括专门的左右翻转与上下翻转命令，下面分别进行介绍。

（1）左右翻转

使用fliplr函数将矩阵中的元素左右翻转，调用方法如下。

例1-36： 矩阵左右翻转示例。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

（2）上下翻转

使用flipud函数将矩阵中的元素左右翻转，调用方法如下。

例1-37： 矩阵上下翻转示例。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例1-38： 矩阵的变维示例。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

例1-39： 矩阵串联与变向示例。

解： 在MATLAB命令窗口中输入以下命令。

3.矩阵带宽

矩阵带宽是显示器视频放大器通频带宽度的简称，凡电子电路都存在一个固有的通频带。带宽越宽，响应速度就越快，允许通过的信号频率越高，信号失真越小。

矩阵的上带宽和下带宽是通过求包含非零值的最远一个对角线（分别在主对角线上方或下方）测得的。

对于包含元素A_ij的矩阵A：

上带宽B₁是最小数，这样无论何时j-i＞B₁，A_ij=0。

下带宽B₂是最小数，这样无论何时i-j＜B₂，A_ij=0。

在MATLAB中，bandwidth命令用于得到矩阵的上下带宽，该命令的格式与说明见表1-32。

在MATLAB中，isbanded命令用于矩阵是否位于特定的下带宽和上带宽范围内，该命令的格式与说明见表1-33。

例1-40： 矩阵带宽示例。

解： MATLAB程序如下。

1.3.4对角矩阵

对矩阵元素修改的特例包括对角元素和上（下）三角阵的抽取。在MATLAB中包括专用的命令。

1.对角矩阵

n阶矩阵显示格式如下

则称该矩阵为对角矩阵。两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵。

对于矩阵A∈Cn×n，所谓的矩阵对角化就是找一个非奇异矩阵P，使得

其中，λ₁，…，λ_n为A的n个特征值。

矩阵对角化在实际中可以大大简化矩阵的各种运算，但不是每个矩阵均可进行对角化转换，因此判断矩阵是否可以进行对角化转换是首要步骤。

◆ 定理1：n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

◆ 定理2：矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特征值的几何重复度等于代数重复度。

◆ 定理3：实对称矩阵A总可以对角化，且存在正交矩阵P使得

其中，λ₁，…，λ_n为A的n个特征值。

对于矩阵，斜对角上的元素是主对角线元素，如图1-1所示，包括a₁₁，a₂₂，…，a_mn。

在MATLAB中，diag命令用于抽取矩阵的对角线上的元素，组成对角线数组，该命令的格式与说明见表1-34。

在MATLAB中，isdiag命令用于确定矩阵是否为对角矩阵，该命令的格式与说明见表1-35。

例1-41： 矩阵对角线抽取示例。

解： MATLAB程序如下。

2.上对角矩阵

在MATLAB中，triu命令用于抽取矩阵的对角线上三角部分的元素，下三角元素使用0替代，组成上对角线矩阵，如图1-2所示，该命令的格式与说明见表1-36。

例1-42： 上对角矩阵示例。

解： MATLAB程序如下。

在MATLAB中，istriu命令用于确定矩阵是否为上三角矩阵，该命令的格式与说明见表1-37。

例1-43： 上三角矩阵示例。

解： MATLAB程序如下。

3.下对角矩阵

在MATLAB中，tril命令用于抽取矩阵的对角线下三角部分的元素，其余部分用0替代，组成下对角线矩阵，如图1-3所示，该命令的格式与说明见表1-38。

在MATLAB中，istril命令用于确定矩阵是否为下三角矩阵，该命令的格式与说明见表1-39。

例1-44： 下三角矩阵示例。

解： MATLAB程序如下。