第5章 数学宝库

数学之源

数学源起于原始社会人们的结绳记事，那时的人们为适应生产和生活的需要，逐渐产生了数量的概念。他们学会了每捕获一头野兽时，用在绳子上打结的方法来记事、记数：一个绳结就代表一头野兽，两个绳结就代表两头野兽，同时，绳结的大小还表示野兽的大小。于是，数量的概念就在这样的过程中逐渐发展起来。

迄今约五六千年以前，伟大的古埃及文明在非洲的尼罗河流域诞生。古埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，届时会淹没大片农田，11月洪水逐渐消退。古埃及人通过长期观察，发现当天狼星和太阳同时出现的时候，正是洪水将至的时候。他们还发现：这种现象大约每隔365天发生一次。这样，古埃及人就选择在洪水泛滥之后播种，在明年6月洪水来临之前收割，以获得好收成。另一方面，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人，租种的人每年把他的收获提取一部分交给国王。如果所租种土地被洪水淹没，他可以向国王报告，国王就派人前来调查并测量损失的那一部分，这样，他交的租就会相应地减少。这种对于土地的测量使几何学应运而生。实际上，几何学的原意就是“土地测量”。

因此，数学正是从“打结记数”和“土地测量”开始的。距今两千多年前生活在欧洲东南部的古希腊人，继承和发展了这些数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人保存和发展了古希腊的文化，又传回欧洲，这为数学的重新繁荣和近代数学的创立奠定了基础。

无理数的发现

毕达哥拉斯及其学派虽然对数学的发展作出过重大贡献，但他们的封闭与保守却束缚了他们事业的发展。比如他们认为：世界上的一切数皆可用两个整数之比来表示。但是毕达哥拉斯死后，其学派成员希伯斯却发现正方形对角线与其边长是不可比的，即正方形对角线长无法用两个整数之比来表示。

这一发现对该学派是一个致命打击，也使学派其他成员惶恐不安，他们妄图用严守秘密的办法掩盖这个可怕的事实。于是，他们把发现者希伯斯推入大海。然而，此后他们并没有找出这样两个整数：它们之比可用来表示正方形的对角线。实际上，存在不可用两个整数比来表示的数，即无理数。

无理数的名称最先被公元6世纪罗马人卡西奥多拉斯使用。事实上，“无理”二字是希腊文字“不可比”的转译失误所致，也就是说无理数其实应称为“不可比数”。

古希腊的数学

古希腊人从波斯人那里学到了经验，进行了精细的思考和严密的推理，逐渐产生了现代意义上的数学科学。因此从严格意义上讲数学是从古希腊人那里产生的。

古希腊人泰勒斯发现并证明了如下几个命题：所有直角都相等；等腰三角形的两底角相等；圆可以被任一直径所平分。他还曾利用太阳影子计算出金字塔的高度，这其实是利用了相似三角形原理。

泰勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的一批学者使数学有了进一步的发展，其最大的成就之一是发现了“勾股定理”（在西方被称为“毕达哥拉斯定理”）。之后，他们正是运用这一定理发现了无理数，从而引发了第一次数学危机，但可惜的是，毕达哥拉斯学派的人否认无理数的存在。

欧几里得在前人基础上取其精华，写成了《几何原理》这本在数学史上享有盛名的著作。我们今天所学习的大部分平面几何知识都源于此书。

欧几里得之后的阿基米德更是开创了古希腊数学发展的新时期，人们称之为亚历山大时期。阿基米德在数学方面的丁作，远远超越了他所在的时代，因此后人称他为“数学之神”。他设计过一种大数体系，即使整个宇宙都填满了细小沙粒，也可以毫不费力地把沙粒的数数出来。他还发现了求面积和体积的公式，并发明了以他的名字命名的螺线。

在阿基米德之后，古希腊数学侧重于应用：希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学；尼可马修斯写出了第一本专门的数论典籍——《算术入门》；丢番图则系统地研究了各种方程。这样，算术、数论、代数、几何、三角这几个初等数学的分支全部建立起来了，数学在古希腊诞生。

古阿拉伯人对数学的贡献

提及0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字，我们毫不陌生，它们是古阿拉伯人对数学的贡献，故后人称其为阿拉伯数字。其实，古阿拉伯人对数学的更大贡献，是在数学发展的过程中，吸收、保存了希腊和印度的数学知识，并将它传给欧洲，起到一个“桥梁”的作用。

在算术上，古阿拉们人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。除代数学的名称的发明外，阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至若干次方程，并用几何图形对其解法进行解释。而应用圆锥曲线相交来解三次方程，则是他们的又一大进步。

阿拉伯人在数学研究中的更大贡献是获得了较准确的圆周率：3.1415926535897932。此外，他们在三角运算中引进了正切和余切，给出了平面三角形的正弦定理的证明。他们还首先提出了平面二三角和球面三角的比较完整的珲论。

阿拉伯数字8数学在中国

作为世界文明古国之一的中国，各种科学在当时均领先于世界其他国家，其数学在人类文化发展之初也是处于领先地位的。早在五六千年前，中国就有了数学符号，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见。当时，自然数的计数已经采用了十进位制。

当时人们在运算中用的是算筹，即用一些由木、竹等制作的匀称的小棍进行计算。算筹有规则地纵横摆放，就可以表示任何一个自然数。据资料显示：中国算筹法至少在公元前8—前5世纪的春秋时代就已相当完备。而印度正式使用“0”这一数字是在公元876年以后，比中国要晚一千多年。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯为古希腊著名哲学家、数学家、天文学家，是毕达哥拉斯教团创始人。公元前532年左右，他为了逃避撒摩斯的残暴统治而移居意大利南部，并在克洛同（今克洛托那）创办了一座伦理一政治学园。毕达哥拉斯的贡献在于：他提出了在客观世界中和在音乐中有数学的功能作用这一学说，并阐明了单弦的乐音和弦长的关系。归到他名下的其他数学原则和发现有：正方形的边和对角线不可通约，直角三角形的毕达哥拉斯定理等，它们可能是当数学概念发展到较高阶段时由毕达哥拉斯学派提出的。

欧几里得

欧几里得（约前330一前275年）是古希腊著名数学家。约活动于公元前300年前后，其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。他早年大概就学于雅典，学习柏拉图学说。公元前300年左右，在托勒密的邀请下，欧几里得长期在他那里工作。欧几里得是一位温良敦厚的教育家。“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。欧几里得将公元前7世纪以后希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学，后人称之为欧几里得几何学，除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大量已失传。《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文的纯粹几何著作，其体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一。

《原本》共13卷。除第五卷，第七、八、九、十卷是用几何方法讲述比例和理论之外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书作为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等几何学（即平面几何和立体几何）的内容基本包括在此书内。《原本》之所以具有如此价值，不仅因为欧几里得非常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，更重要的是他把那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的、演绎的几何学体系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的数学理论的人。

祖冲之

祖冲之是我国南北朝时期一位杰出的科学家，出生于公元429年，他自幼酷爱数学，并且爱动脑筋提问题。他一生中有许多卓越的成就，其中之一就是对圆周率的计算。

祖冲之圆周率就是圆周的长度和直径长度的比值，是一个无限的不循环小数，也就是说它是个没完没了的小数，各位数字的变化又没有规律。通常在计算的时候，我们把圆周率定为3.1416，这个数字实际上比圆周率稍微大一点。祖冲之在1500年以前就确定：圆周率在3.1415926和3.1415927之间，比3.1416精确得多。在他之后的1000年，阿拉伯数学家才打破了这个精确程度的纪录。

计算网周率可不是一件容易的事。祖冲之从圆的内接正六边形开始，先算内接正12边形的边长，再算内接正24边形的边长，再算内接正48边形的边长……边数一倍又一倍地增加，一共要翻11番，直到算出了内接正12288边形的边长，才能得到这样精密的圆周率。

在祖冲之以前，已经有人提出圆周率跟22/7相近似。祖冲之把22/7叫做“约率”，提出了另一个圆周率的近似值355/113，作为“密率”，因为它更加精密，跟圆周率更加接近。过了1000年，德国人奥托和荷兰人安托尼兹才先后提出355/113这个圆周率的近似值，欧洲人当时不知道祖冲之已经提出过“密率”，在他们写的数学史上，把它叫做“安托尼兹率”。日本数学家主张把355/113称为“祖率”，这是十分公允的。

祖冲之从小爱好天文历法，经常观测太阳、月亮和星星在天空中运行的情况，并作详细的记录。他发现当时采用的《元嘉历》还有些错误，对日月的方位、行星的出没和冬至、夏至的时间，推算得都不是很准确，他编制了一部新的历法，叫做《大明历》。这时候，祖冲之刚33岁。

《大明历》的成就，是第一次照顾到了“岁差”。原来地球每绕太阳一周，冬至点要稍稍后退一点儿，也就是向西移一点儿，这就叫“岁差”。首先发现岁差的是晋朝的天文学家虞喜。祖冲之经过仔细地观察和钻研，计算出岁差是每45年又11个月后退一度（我国古代把周天分为365.25度）。现在人们都知道，岁差是由地轴摆动产生的，每71年又8个月后退一度。他把岁差计算应用到历法中去，是对历法的一次革命。《元嘉历》是每17年有7个闰月。祖冲之编制的《大明历》，改为391年有144个闰月，也比《元嘉历》精确得多。

笛卡儿

笛卡儿笛卡儿墓碑上写着“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。他的才华撼动了自然科学、哲学界，其理论自成体系，深受后辈景仰。

从1619年至1628年，笛卡儿在欧洲四处游历吸收各类知识。1628年，他从巴黎移居荷兰，开始了长达20年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。

笛卡儿雄心立业，终身未娶，他的著作几乎全部是在荷兰完成的。他在1634年写了《论世界》，这本书总结了他在哲学和自然科学问题上的许多看法。笛卡儿之后又发表了许多著作，如1637年发表了《几何学》，1641年出版《形而上学的沉思》，1644年出版《哲学原理》等。他的著作在生前就遭到教会指责，死后又被梵蒂冈教廷列为禁书。笛卡儿不仅在哲学领域里开辟了一条新的道路，同时又在物理学、生理学等领域提出许多创见，特别是在数学上创立了解析几何，从而打开了近代数学的大门。笛卡儿将几何学与代数学有机结合在一起，从而开创了用代数形式来解决几何问题的先河。而且他还创立了“解析几何学”，为微积分的创立奠定了基础。

笛卡儿在其他科学领域的成就也同样硕果累累：他从理论上推导了折射定律，与荷兰的斯涅耳共同分享发现光的折射定律的荣誉；他对人眼进行了光学分析，设计了矫正视力的透镜；他提出了宇宙间动量总和是常数的观点，创造了动量守恒定律，为能量守恒定律的提出奠定了基础。哲学上，他将传统唯物论与唯心主义加以整合，并自成体系。

1649年，笛卡儿应邀去斯德哥尔摩为瑞典女王教授哲学。1659年，他因感冒患上肺炎，不幸病逝。1819年，他的遗骸被移入法国国家历史博物馆。

莱布尼茨

莱布尼茨是德国数学家，生于莱比锡，父母均博学多识，家中藏书甚丰，使他得以广泛接触各类优秀文化知识。

15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，入学不久便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程。他还阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和分析。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。

20岁时，莱布尼茨转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一篇数学论文——《论组合的艺术》。莱布尼茨在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。在出访巴黎时，莱布尼茨深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究帕斯卡等数学名家的著作。1673年，莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地转向了自然科学。莱布尼茨独创了微积分的基本概念与算法，和牛顿共同奠定了微积分学。然而关于微积分创立的优先权，德国曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨研究成果的发表则早于牛顿。莱布尼茨从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

莱布尼茨认识到好的数学符号能减轻思维的劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了同定而适用的符号系统。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。

1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年他被选为巴黎科学院院士，促成了柏林科学院的建立并任首任院长。

1716年11月14日，莱布尼茨在汉诺威公爵府逝世，终年70岁。

高斯

高斯是德国著名数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，与牛顿并列，共享盛名。

高斯童年时就显示出很高的才能。1792年入不伦瑞克的卡罗琳学院学习。1795年入哥廷根大学，在大学的第一年发明了二次互反律，第二年又得出正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千多年来悬而未决的难题。

高斯的数学成就遍及各个领域，在数学、代数学、非欧几里得几何、微分几何、超几何级数等方面均有一系列开创性贡献。1833年他和物理学家W.E.韦伯合作建立地磁观测台，还架设了世界上第一台有线电台。高斯长期从事数学研究并将数学应用于天文学、物理学和大地测量学等领域的研究。他著述丰富，成就甚多。高斯涉足天文学始于对小行星的研究。1801年，他创立三次观测决定小行星轨道的计算方法，1809年发表其计算方法。此后，几乎都用这个方法推算小行星轨道。在星历表计算中，他引进一组辅助量（又称为高斯常数），使求日心赤道直角坐标的计算大大简化。高斯定理是物理学静电场的基本方程之一。他还利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。他又结合实验数据的推算，发展了概率统计理论和误差理论，发明最小二乘法，引入高斯误差曲线。

华罗庚

华罗庚为中国数学家，中国科学院院士。1924年华罗庚由金坛中学初中毕业，后刻苦自学成才。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年他赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺伊大学教授。1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，前联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学、数学、化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。他曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席，曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺伊大学荣誉博士学位。

华罗庚主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。20世纪40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对G.H.哈什与J.E.李特尔伍德关于华林问题及E.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。在代数方面，证明了历史长久遗留的一维摄影几何的基本定理；给了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当—布饶尔—华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表四十余年来其主要论述仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等奖。他曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并在中国推广应用。他与王元合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华—王方法”。华罗庚在发展数学教育和科学普及方面作出了重要贡献，发表研究论文二百多篇，并有专著和科普性著作数十种。

陈景润

陈景润是中国数学家，为中国科学院院士。1953年毕业于厦门大学数学系。1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。陈景润历任中国科学院数学研究所研究员、学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职。

他主要从事解析数论方面的研究。并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果。这一成果在国际上被誉为陈氏定理，被广泛引用。他与王元、潘承洞共同获得1978年国家自然科学奖一等奖。其后陈景润对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到16，受到国际数学界好评。此外，他对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究，发表研究论文七十余篇，并有《数学趣味谈》、《组合数学》等著作。