3.5 液体有旋运动简介

当液体微团旋转角速度ω≠0时，这样的流动为有旋流动，也称有涡流动。

必须注意，液体微团是无旋还是有旋，取决于液体微团自身是否旋转，而与微团的运动轨迹无关。如图3.18所示，图3.18（a）中微团运动轨迹是圆，但微团自身不旋转，因此是无旋流动；图3.18（b）中微团运动轨迹是直线，但微团绕基点轴旋转，因此是有旋流动。

在研究有旋流动的涡场时，可以类似速度场定义流线、流管、流束、流量等那样，引入涡线、涡管、涡束、涡通量等概念。

3.5.1 涡线、涡管、涡束

如图3.19所示，某一瞬时，在涡场中存在一条假想的空间几何曲线，曲线上各质点的旋转角速度矢量ω都与该点的曲线相切，满足这种条件的曲线称为涡线。

与流线类似，根据涡线的定义，可得涡线微分方程：

与流线相似，同一瞬时，涡线不能相交，也不能突然转折。在涡场中任取一条不与涡线重合的封闭曲线，过封闭曲线上各点作涡线，所构成的管状曲面称为涡管。涡管内充满了互不相交的涡线，涡管中任一与所有涡线都正交的曲面称为涡管断面。在涡管断面上任取一微元面积，通过该微元面积各点作出一束涡线，称作元涡。同一元涡横断面上各点的旋转角速度可以认为是相等的。通过涡管断面的所有元涡，组成涡管的涡束。

3.5.2 涡量、涡通量、速度环量及斯托克斯定理

涡量就是速度的旋度，用符合Ω表示，则

式中——哈密顿算子；

Δ×u——速度u的旋度。

涡通量亦称涡旋强度，简称涡强，用符号I表示。元涡的涡通量为

如果总涡管断面面积为A，平均涡量为Ω，当Ω与A的方向一致时，I=∫AΩ·dA=ΩA。由于涡线不能相交，没有涡量穿越涡管侧面，所以沿涡管各断面的涡通量相等，即Ω1A1=Ω2A2。

与旋涡运动有关的另一个重要概念是速度环量。如图3.20所示，在流场中任取一封闭曲线L，流速沿着该曲线L的积分，称为沿曲线L的速度环量，用符号Γ表示，则

速度环量Γ可正可负，其正负与流场的速度方向和沿曲线积分的绕行方向有关，规定线积分的绕行方向为逆时针方向，如果在周界L上切向速度与绕行方向一致，则速度环量Γ为正，否则为负。

速度环量可通过斯托克斯（Stokes）定理与涡通量联系起来。设曲面A以封闭曲线L为周界，则可以证明（证明从略）：

上述定理指出：沿某一封闭曲线速度环量，等于通过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。利用斯托克斯定理，可通过分析速度环量来研究涡旋运动。当速度环量Γ≠0时，可判断相应区域内必然存在有旋流动，但也可能在该区域内的局部出现无旋流动；当Γ=0时，仅表示区域内总涡通量I=0，可能区域内处处无旋，也可能存在大小相等、方向相反的涡量，使涡量正负抵消。