3.4 液体微团的运动分析

液体微团和液体质点是两个不同的概念。根据连续介质模型可知，液体是由无数连续分布的液体质点组成，液体质点宏观尺寸非常小，是可以忽略尺度效应的最小单元。而大量连续分布的液体质点组成液体微团，液体微团具有尺度效应，即可产生多种运动形式。液体微团运动远比刚体复杂，它除了与刚体一样有平移和转动外，还有变形运动（包括线变形和角变形）。也就是说，液体微团具有平移、线变形、角变形和旋转4种基本运动形式。

本节研究液体微团的速度分解和液体微团运动组成，为后续有势流动和有旋流动的分析与研究打下基础。

3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理

设某瞬时t，在液体内任取一液体微团，在微团中任取空间点M（x，y，z），在t瞬时M点处的速度为u，它的3个速度分量分别为ux、uy、uz。在微团中M点邻域内另取空间点M′，M′点的坐标可表示为x+dx、y+dy、z+dz，速度设为u′，3个速度分量分别为，则均可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小，表示为

为进一步研究液体质点的运动形式，将式（3.21）的各分式分别加减相同项，整理得：

简写为

式（3.22）和式（3.23）称为亥姆霍兹速度分解定理。

式（3.23）3个分式右边第一项ux、uy、uz称为平移速度；第二项为液体线变形运动引起的速度增量，εxx、εyy、εzz称为线变形速度，其中

第三项括号内为液体角变形运动引起的速度增量，εxy、εxz、εyz、εyx、εzx、εzy称为角变形速度，其中

第四项括号内为液体旋转运动引起的速度增量，ωx、ωy、ωz称为旋转角速度，其中

通过上述亥姆霍兹速度分解定理，我们可以很容易地分析出液体运动到底是哪一种运动形式或者是哪几种运动形式的组合。

3.4.2 液体微团各项速度的意义

为清楚地说明问题，下面以较简单的液体微团平面流动为例，说明式（3.23）中各项速度的意义。在流场中任取矩形液体微团ABCD，设A点（相当于前述的M点）的两个速度分量分别为ux、uy，对于平面流动，因εzz=εyz=εzy=εzx=εxz=ωx=ωy=0，则它邻域内任一点（如B、C、D点，相当于前述的M′点）的两个速度分量根据式（3.23）可简化为

建立xOy坐标系，矩形液体微团ABCD各边与相应坐标轴平行。下面分析该液体微团的某项速度的意义时，是假设其他运动不存在的情况下分析的。

1.平移运动

讨论平移，可先假设线变形、角变形和旋转3种运动不存在，即εxx=εxy=εyx=εyy=ωz=0。设基点A点速度为ux、uy，A点邻域内B、C、D点的速度均可表示为，由式 （3.27）可知，，即A、B、C、D各点的速度相同，都是ux、uy，实际上微团各点速度均为ux、uy。

如图3.17（a）所示，经过dt时段，矩形液体微团ABCD平移到A′B′C′D′，液体质点在x、y方向平移的位移分别为x=uxdt，y=uydt，由分析可知，矩形液体微团平移运动仅仅是在xOy平面上从一个位置移到另一个位置，大小、形状均未发生改变。

同理，对于三维流场，液体质点在x、y、z方向平移的位移分别为x=uxdt，y=uydt，z=uzdt。液体微团在三维空间中从一个位置平移到另一个位置，大小、形状也不发生改变。

2.线变形运动

同理，讨论线变形，假设平移、角变形和旋转3种运动不存在，即ux=uy=εxy=εyx=ωz=0。设基点A点速度为ux=0、uy=0，由式 （3.27）可知，A点邻域内任一点的速度可表示为。由于与dx、dy有关，所以B、C、D各点的速度要具体计算。由计算可得

B点速度：。

C点速度：。

D点速度：。

如图3.17（b）所示，经过dt时段，因A点速度为0，故A处液体质点保持不动；B点处液体质点沿x方向向右移动位移=εxxdxdt，即矩形液体微团ABCD的AB边沿x方向伸长εxxdxdt；若不考虑液体的膨胀性，则D点处液体质点沿y方向向下移动位移=εyydydt，即矩形液体微团ABCD的AD边沿y方向缩短εyydydt；C点处液体质点沿x方向向右移动位移εxxdxdt的同时沿y方向向下移动位移εyydydt。由分析可知，经过dt时段，矩形液体微团ABCD变形为AB′C′D′，我们将液体微团的这种伸缩变形运动称为液体线变形运动。

其中，是单位时间液体微团x方向的相对线变形量，称为x方向的线变形速度。同理，是液体微团在y、z方向的线变形速度。

3.角变形运动

讨论角变形运动，假设平移、线变形和旋转3种运动均不存在，即ux=uy=εxx=εyy=ωz=0。同样，设基点A点速度为（0，0），由式（3.27）可知，A点邻域内任一点的速度可表示为。则由计算可得

B点速度：。

C点速度：。

D点速度：。

如图3.17（c）所示，经过dt时段，A点处质点不动；设εxy=εyx＞0，则B点处质点沿y方向向上移动位移εyxdxdt；D点处质点沿x方向向右移动位移εxydydt；C点处质点向右移动位移εxydydt的同时向上移动位移εyxdxdt。在dt时段内，AB边向上转动微小角度dα，AD边向右转动微小角度dβ。由几何关系可知：

因εxy=εyx，所以dα=dβ，AB边和AD边相向而转，由矩形液体微团ABCD变形为平行四边形AB′C′D′，我们将液体微团的这种变形称为液体角变形运动。

εxy=εyx=是液体微团在xOy平面上的角变形速度。同理，εyz=εzy=则分别是微团在yOz、zOx平面上的角变形速度。

4.旋转运动

讨论旋转运动，假设平移、线变形和角变形3种运动均不存在，即ux=uy=εxx=εyy=εxy=εyx=0。A点速度仍为（0，0），由式（3.27）可知，A点邻域内任一点的速度可表示为。则由计算可得

B点速度：。

C点速度：。

D点速度：。

如图3.17（d）所示，A点处质点不动；设ωz＞0，则B点处液体质点沿y方向向上移动位移ωzdxdt；D点处质点沿x方向向左移动位移ωzdydt；C点处质点向左移动位移ωzdydt的同时向上移动位移ωzdxdt。在dt时段内，AB边向上转动微小角度dα，AD边向左转动微小角度dβ。由几何关系可知：

由此得dα=dβ，AB边和AD边以相同的角速度ωz绕A点同向旋转，即液体微团以ωz角速度逆时针绕A点旋转。我们将液体微团的这种运动称为液体的旋转运动。

ωz=是液体微团绕平行于Oz轴的基点轴的旋转角速度。同理，ωx=是微团绕平行于Ox、Oy轴的基点轴的旋转角速度。

由以上分析，说明了亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，将液体微团运动分解为平移、线变形、角变形和旋转运动4种形式，并描述其各自的运动特征。

根据液体微团自身是否旋转，将流体运动分为无旋流动和有旋流动两种类型。由于两类流动的规律性和计算方法不同，后面章节将对无旋流动和有旋流动分别展开讨论。

【例3.4】 已知水平等直径圆管中的恒定均匀层流，速度分布如下：

其中：r0为圆管直径，J为水力坡度，υ为运动黏度。

试分析：（1）液体质点的变形情况；（2）液流是否作有旋流动。

解：（1）液体质点的变形情况。

1)液体质点的线变形率：

因此，液体质点不发生线变形。

2)液体质点的角变形率：

因此，液体质点发生角变形。

（2）液流是否作有旋流动。

因此，液流为有旋流动。