4.4　位移变分法

上一节中导出的位移变分方程，给弹性力学问题提供这样一个近似解法：设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，使其满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程（等价于平衡微分方程和应力边界条件），从中求出待定系数，从而得出问题的位移解答。

试取位移分量的表达式如下：

式中，Am、Bm、Cm为互不依赖的3m个系数；u0、v0、w0为设定的函数，在给定位移的边界上，它们的边界值等于边界上的已知位移；um、vm、wm为在该边界上等于零的设定函数。这样，不论系数Am、Bm、Cm如何取值，u、v、w总能满足位移边界条件。注意：位移的变分只是由系数Am、Bm、Cm的变分来实现，至于各个设定函数，则仅随坐标而变，与位移的变分完全无关。

根据上式，位移分量的变分是

而应变能的变分是

根据式（4-1），得

进行移项，将每个系数的变分归并，得到

因为变分δAm、δBm、δCm是完全任意的，而且是互不依赖的，所以它们在上式中的系数必须等于零。于是得到

上式中各系数是互不依赖的，因此总可以由这些方程求得各个系数，从而求得位移分量。很多文献上把这个方法称为里茨法。

如果，使得位移边界条件和应力边界条件都能得到满足，则可以得到

根据δAm、δBm、δCm的任意性，它们的系数应当分别等于零，于是得到

将上述三方程中的应力分量通过物理方程用应变分量表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化以后，即得

这个方法称为伽辽金法。

用位移变分法求得位移分量以后，不难通过弹性方程求得应力分量，但往往出现这样的情况。取少量系数Am、Bm、Cm，就可以求得较精确的位移，而由此求出的应力却很不精确。为了求得的应力充分精确，必须取更多的系数。

人物

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant（圣维南，1797—1886年）是法国力学家。1855年和1856年，Saint-Venant用半逆解法分别求解柱体扭转和弯曲问题，其认为“如果柱体端部两种外加载荷在静力学上是等效的，则端部以外区域内两种情况中应力场的差别甚微”。1885年，布森涅斯克把这个思想加以推广，并称之为“圣维南原理”。

Saint-Venant研究结果大多发表于法国科学院学报上。1864年，他在为老师Navier的著作《力学在结构和机械方面的应用》编辑第三版时，在书中加入了大量注释和附篇，使Navier的原著只占全书的十分之一。Saint-Venant在这些注释和附篇中表述了自己对材料力学和弹性力学的许多见解。