量词与谓词

我们目前为止看到的命题逻辑拥有丰富的内涵，并且已经相当反直觉了。然而，作为一种语言，它的限制实在太多。的确，命题逻辑中的每一个逻辑公式都只能牵涉有限个布尔变量，然而在数学和科学中，人们常常希望考虑所有可能性组成的集合，这种集合可能无限大。

举个例子，因为有无穷个数，我们可以取关于这些数的无数个布尔变量。典型的例子就是存在无数个形如“ 是偶数”的命题，我们可以给每个整数写出一个这样的命题。与其给每个这样的命题起不同的名字，我们不如考虑一个依赖于整数 的命题 。我们将“Even”称为谓词。我们还可以构建更复杂的谓词，比如表示“ ”的谓词 。

我们不能说谓词是真的，只能说谓词总是真的、总是假的、至少有一种情况为真或者至少有一种情况为假。这四种说法对应着不同的量词。如果对于所有 来说 都是真，那么我们就说 总是真的。在谓词逻辑中，这句话可以紧凑地写成 。符号 读作“对于所有”，它就是所谓的全称量词。同样，如果 总是假的，就可以写成 (非 )。最后，“ 至少对于某个 的值是对的”可以写成 ，如果 至少对某个 的值是错的，就写成 (非 )。符号 就是存在量词，读作“存在”。

关键在于，在一个逻辑公式中，如果所有谓词的变量都被全称量词或者存在量词量化的话，它就变成了一个或真或假的命题。也就是说，“ 是偶数”这个句子没有对错之别，但量化后的“ ( 是偶数)”和“ ( 是偶数)”就有真假之分了。你可以自己猜猜哪个为真，哪个为假。

于是，我们可以试着将逻辑符号组合成更有趣的命题，比如“ (( 是偶数) → ( 是奇数))”“ ”或者“ 且 ”。数学工作最纯粹的形式就是确定谓词逻辑中的哪些公式是重言式。如果发现了一个并不显然的重言式，人们就把它称为定理。