逻辑的规则

逻辑推理的经典例子就是亚里士多德的三段论，它先考虑下面两个前提：

• 所有人都会死；
• 苏格拉底是人。

亚里士多德断言这两个前提会引出下面的结论 ¹ ：

• 因此，苏格拉底会死。

亚里士多德的逻辑似乎无可挑剔。它看上去如此自然，其正确性不容置疑。几年前，一位朋友向我提出挑战，说我不可能怀疑亚里士多德的三段论，我承认了自己做不到。

然而，亚里士多德的这个三段论启发了众多哲学家、逻辑学家和数学家，他们接下来进行了认真的分析，目的是确定逻辑的规则。这些逻辑规则又叫作替换规则与肯定前件规则。如同现代数学那样，亚里士多德的三段论实际上基于这两条逻辑规则。要理解它们，最好从一个比亚里士多德的三段论更简单的情况出发。考虑下面这个包含两个事件的例子：

：现在正在下雨；

：我带了伞。

每个事件都可能是真的或者假的。这两个事件又被称为布尔变量，由此出发可以构建新的事件，我们把这些新事件叫作逻辑公式。比如说，我们可以构造“非”“或者”甚至“且”这些公式，甚至还有类似“（非）或者”这种更复杂的公式。要理解这些公式，一种有用的方法就是构造它们的真值表（表 1），根据布尔变量的真值列出逻辑公式的真值。

表1　“现在正在下雨或者我带了雨伞”的真值表

比如说，在表 1 中，中间一行对应 ，也就是“现在正在下雨”的情况，而中间一列则对应 ，也就是“我带了伞”的情况。所以，正中间的格子代表当 和 同时为真时，“ 或者 ”的逻辑真值。这个格子指出，如果 和 都为真的话，那么“ 或者 ”也为真。请你花点时间自己分析这个真值表，并列出其他逻辑公式的真值表。

目前为止，我们还只研究了由两个布尔变量组成的公式，但我们可以更进一步，考虑由 3 个、8 个甚至更多布尔变量组成的公式。为了列出这些布尔变量所有可能的取值组合，这些公式的真值表当然会变得更庞大。你可以计算一下这些巨大的真值表有多少项，以及所有可能的真值表的数目。但我非常不建议你列出包含 3 个或以上布尔变量的所有真值表，毕竟 3 个布尔变量的真值表有 256 个……而包含 8 个布尔变量的真值表数目约等于宇宙中的粒子数！

在实践中，有一个逻辑公式特别重要，那就是“（非 ）或者 ”，通常我们也把它写成“→”。这个公式可以直观地读成“ 蕴涵 ”，或者“对于所有 都有 ”，又或者“如果 那么 ”。请你多花点时间思考这个公式的真值表（表 2），它一定会令没有仔细思考过它的人吃惊。

表2　“如果下雨的话我就带了雨伞”的真值表

“→”这个公式之所以特别重要，是因为它处于逻辑演绎的核心。逻辑演绎正是从前提 出发，推导出结论 。如果蕴涵关系是正确的，而且前提也正确，那么结论本身也必定正确。用符号表示的话，我们可以写出逻辑公式“((→)且 )→”，这个公式就是我们所说的肯定前件²。^[2]

你可以将代表“蕴涵”的箭头替换成它的定义，用我们之前定义的“或者”“且”和“非”来表达。摆弄一下这样得到的公式，或者写出它的真值表，你就会得出一个结论：无论 和 的真值是什么，肯定前件推理总是正确的。我们说肯定前件推理是一个重言式，因为对于涉及的布尔变量所有可能的真值，它都是对的。

与常识相反的是，在逻辑中，重言式可能一点都不“显然”。它不一定显而易见或不言而喻。如同肯定前件推理，某些重言式是大部分人看不出来的，我们需要一点时间来思考。