1.3　极限的运算

1.3.1　极限的运算法则

定理　设函数f（x）和g（x）在自变量x的同一变化过程中（x→x0或x→∞）的极限分别为A和B，简记为limf（x）=A，lim g（x）=B.则

（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±lim g（x）=A±B；

（2）lim[f（x）·g（x）]=limf（x）·lim g（x）=A·B；

其中（1）和（2）可推广到有限个函数的情形.而且（2）还有如下两个推论：

推论1　lim[C·f（x）]=C·limf（x）=C·A，其中C为常数.

推论2　lim[f（x）]n=[limf（x）]n=An，其中n为正整数.

例1　求　.

例2　求　.

例3　求　.

解　当x→∞时分子和分母都趋向于无穷大，不能直接用法则（3）.我们可先将分子和分母同除以它们的最高次方幂x3后，再求极限.

由此不难证明：

其中a0，b0均不为零.式（1.9）可作为公式使用.

1.3.2　两个重要极限

在函数极限的计算中，下面两个极限起着重要的作用（证明从略）：

其中e≈2.71828，是一个无理数.以e为底的对数记为ln x，称为自然对数.

例4　求　.

例5　求　.

例6　求　.

例7　求　

例8　求