1.4　函数的连续

1.4.1　函数连续的概念

在客观世界中，许多事物的变化是连续进行的.譬如，生物的连续生长，人体体温的连续变化，血液在血管中的连续流动等，都是随着时间而连续不断地变动.这些现象反映到数学上，就是函数的连续性.为此先介绍函数的增量.

设变量u从它的一个初值u0变到终值u，终值与初值的差u-u0叫作变量u的增量（或改变量），记为Δu，即Δu=u-u0.

增量Δu是可正可负的，且终值u又可写成u0+Δu，即u=u0+Δu.

设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0点有一增量Δx，即x从x0变到x0+Δx时，函数y相应地从f（x0）变到f（x0+Δx），称f（x0+Δx）-f（x0）为函数在点x0的增量（或改变量）（increment），记为Δy，如图1-6所示，即

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

定义1　设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，若当自变量x在x0点的增量Δx趋向于零时，对应的函数增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趋向于零，即

则称函数y=f（x）在x0点连续（continuous）.

若设x=x0+Δx，则Δx→0即x→x0，且f（x0+Δx）→f（x），于是（1.12）式写成

所以，函数在一点连续的定义又可叙述如下：

定义2　设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，若f（x）当x→x0时的极限存在，且等于它在x0点的函数值f（x0），即

则称函数y=f（x）在x0点连续.

由此可知，如果f（x）在x0点连续，则有

这说明，在函数连续的前提下极限符号与函数符号可以交换次序，且所求的极限值就等于x0点的函数值.

定义3　如果函数f（x）在点x0及其右侧附近有定义，且，则称函数y=f（x）在点x0右连续（continuity from the right）；

如果函数f（x）在点x0及其左侧附近有定义，且，则称函数y=f（x）在点x0左连续（continuity from the left）.

因此，函数y=f（x）在点x0连续的充分必要条件是在x0出既要左连续又要右连续，即f（x0+0）=f（x0-0）=f（x0）.

定义4　如果f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，则称f（x）在开区间（a，b）内连续，这时，称f（x）为（a，b）区间内的连续函数；如果f（x）在开区间（a，b）内连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，这时，称f（x）为[a，b]区间上的连续函数.

在一个区间上的连续函数的图形是一条连续不断的曲线.

1.4.2　函数的间断点

若函数y=f（x）在x0点不连续，则称x0点为函数y=f（x）的间断点（discontinuous point）.从连续函数的定义可以看出函数的间断点有下列三种情况之一：

（1）函数f（x）在x0点没有定义；

（2）函数f（x）在x0点有定义，但不存在；

（3）函数f（x）在x0点有定义，且存在，但

例1　函数与在x=0点都没有定义，所以x=0为f（x）与g（x）的间断点.由于，所以，x=0又称为的无穷型间断点；，所以x=0称为的可去型间断点（即可以去掉的间断点）.因为只要按下面的方式补上这一点的定义：

g（x）在x=0点就连续了.

例2　设分段函数

尽管当x=1时，函数有定义且极限存在，即 ，但极限值不等于f（x）在x=1处的函数值f（1）=1，所以x=1为f（x）的可去间断点（见图1-7），因为只要修正f（1）的值为2，f（x）在x=1处就变成连续的了.

例3　设分段函数

即左、右极限不相等，从而 不存在，所以f（x）在x=0处间断（见图1-8），此时称x=0为函数f（x）的跳跃型间断点.

通常根据函数在间断点处左右极限的情况，将间断点分为两大类：

（1）若x0是f（x）的一个间断点，且左右极限f（x0-0）和f（x0+0）都存在，称x0为第一类间断点.其中，当f（x0-0）=f（x0+0）时，称x0为可去间断点；当f（x0-0）≠f（x0+0）时，称x0为跳跃间断点.

（2）当f（x0-0），f（x0+0）至少一个不存在时，称x0为第二类间断点.

1.4.3　初等函数的连续性

由函数连续的定义及极限的运算法则，容易证明下述定理.

定理1　如果函数f（x）与g（x）都在x0点连续，则f（x）±g（x），f（x）g（x）及也在x0点连续.

定理2　如果函数u=φ（x）在x0点连续，且φ（x0）=u0，而函数y=f（u）在u0点连续，则复合函数y=f（φ（x））在x0点连续.

可以证明，基本初等函数在其定义域内都是连续的，而初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合构成的，所以由上述两个定理便得到一个重要的结论：一切初等函数在其定义域内都是连续的.

函数f（x）若在定义域内连续，这时称函数f（x）为连续函数.

这个结论为我们求初等函数的极限提供了很大的方便.

求复合函数的极限有一个更一般的法则：

定理3　设函数u=φ（x）当x→x0时的极限存在且等于u0，即，而函数y=f（u）在u0点连续，则复合函数y=f（φ（x））当x→x0时的极限存在，且

例4　求　（a>0，a≠1）

解　由对数的性质及连续性，有

特别，当a=e时，，即当x→0时，ln（1+x）～x.

1.4.4　闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数有一些特殊的性质，这些性质的几何意义都十分明显，我们仅从几何直观上去解释下面的定理.

定理4　（介值定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在端点处函数值f（a）和f（b）不相等，则对介于f（a）与f（b）之间的任何一值C，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得

f（ξ）=C　（a<ξ<b）

这个定理的几何意义是：连续曲线y=f（x）与水平直线y=C（C在f（a）与f（b）之间）至少相交于一点（见图1-9）.

推论　（根存在定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，如果f（a）与f（b）异号，则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得

f（ξ）=0　（a<ξ<b）

说明在f（a）与f（b）异号时，方程f（x）=0在（a，b）内至少有一个实根.从几何上看，连续曲线y=f（x）与x轴至少相交于一点（见图1-10）.

定理5　（最大值最小值定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点ξ1，使得f（ξ1）为最大值（记为M）；又至少存在一点ξ2，使得f（ξ2）为最小值（记为m）.

从几何上看，一段连续曲线必有最高点和最低点（图1-11）.

要注意，一般说来开区间上的连续函数可能取不到最大值和最小值.例如在（0，1]上取不到最大值.