2.3　微分

2.3.1　微分的概念

例如，正方形金属薄片的面积S是边长x的函数S=x2，当受热后，边长x0有一增量Δx时，面积S相应地有一个增量.

由上式，ΔS分成两部分，第一部分2x0Δx是Δx的线性函数，即图2-3中带有阴影的两个矩形面积之和；而第二部分（Δx）2是图中带有阴影的小正方形的面积，且当Δx→0时（Δx）2是Δx的高阶无穷小，即

（Δx）2=o（Δx）　（当Δx→0）

因此，若边长的增量很微小时，即｜Δx｜很小时，面积的增量ΔS可近似地用第一部分2x0Δx来代替，即ΔS≈2x0Δx，它们之间相差仅仅是一个Δx的高阶无穷小.

定义　若函数y=f（x）在点x0的增量可表示为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+ο（Δx）（A为不依赖于Δx的常数）

则称函数y=f（x）在点x0可微，而AΔx称为f（x）在点x0的微分（differential），记作dy或df，即

dy=AΔx　　（2.3）

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记为dx，即dx=Δx.故（2.3）式可写成

dy=f′（x）dx

若以dx除以上式两端，得，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商.因此，导数又称微商.

下面从几何图形上说明微分的几何意义

定理　函数y=f（x）在点x0可微的充要条件是y=f（x）在点x0处可导，且A=f′（x0），即dy=f′（x0）Δx.

证明　

必要性　已知y=f（x）在点x0可微，则Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+ο（Δx）

故y=f（x）在点x0可导，且f′（x0）=A.

充分性　已知y=f（x）在点x0可导，则.

故　　Δy=f′（x0）Δx+αΔx=f′（x0）Δx+ο（Δx）

即　　dy=f′（x0）Δx

注1：函数的增量Δy由两部分构成，第一部分f′（x0）Δx是函数增量的主要部分，是Δx的线性函数；第二部分αΔx是在Δx→0时Δx的高阶无穷小.

注2：在Δx→0时Δy与dy是等价无穷小，故当Δx很小时，有近似公式Δy≈dy.

设函数y=f（x），其曲线见图2-4.对于x点，曲线上有确定的点M（x，y），当自变量x有微小增量Δx时，就得到曲线上另一点M′（x+Δx，y+Δy），由图MQ=Δx，M′Q=Δy，过M点做曲线的切线MT，它的倾角为α，则

tan α=f′（x）

且有　　PQ=MQ·tan α=Δxf′（x）

即　　PQ=dy

由此得到微分的几何意义：函数y=f（x）在x点的微分等于曲线在该点的切线的纵坐标的增量.

2.3.2　微分的运算法则

由函数的微分定义dy=f′（x）dx，可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，然后乘以自变量的微分.由此从导数的公式和求导法则，可直接得到微分公式及微分运算法则.

1.微分的基本公式

dc=0　　dxa=axα-1dx

dax=axlnadx　　dex=exdx

dsin x=cos xdx　　dcos x=-sin xdx

dsec x=tan x·sec xdx　　dcscx=-cotx·cscxdx

2.微分的四则运算法则

设u，v都是x的可导函数，则

d（u±v）=du±dv

d（uv）=vdu+udv

3.复合函数的微分法则

设函数y=f（u）具有导数，若u为自变量时，其微分为

dy=f′（u）du

若u为中间变量，是一个具有导数的函数u=φ（x），则复合函数y=f（φ（x））的微分

dy=yx′dx=f′（u）φ′（x）dx

又由于　　du=φ′（x）dx

所以　　dy=f′（u）du

由此可见，不论u是自变量，还是中间变量，函数y=f（u）的微分形式dy=f′（u）du保持不变，这一性质称为一阶微分形式的不变性.

例1　已知函数y=x·ln x+ex求dy.

例2　已知函数y=cos（2x-1），求dy.

解　令u=2x-1，则

dy=dcosu=-sinudu=-sin（2x-1）d（2x-1）=-2sin（2x-1）dx

实际上，也可以利用微分定义求其微分.但在具体运用复合函数微分法则时，中间变量可以不写.

例3　已知函数y=xn·sin x求dy.

解　dy=d（xn·sinx）=xnd（sin x）+sin xd（xn）

　　　=cos x·xndx+nxn-1·sin xdx=（xncos x+nxn-1·sin x）dx

例4　在下列等式的括号中填入适当的函数，使其等式成立.

（1）d（　）=xdx　　（2）d（　）=cosωxdx

解　（1）因为d（x2）=2xdx，所以　

（2）因为d（sinωx）=ωcosωxdx，所以　

*2.3.3　微分在近似计算和误差估计中的应用

微分在许多科学领域与实际计算中是很有用的.下面介绍微分在近似计算中的应用.

前面说过，若函数y=f（x）在x0点处可微，且f′（x0）≠0，当｜Δx｜很小时，我们有

Δy≈dy=f′（x0）Δx

此式可写为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx　　（2.4）

或　　f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx　　（2.5）

在（2.5）式中，令x=x0+Δx，便有

f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）　　（2.6）

若f（x0），f′（x0）易计算，则可利用（2.4）式来近似计算函数的增量Δy，利用（2.5）式来计算f（x0+Δx）或利用（2.6）式计算f（x）.这种近似计算的实质为用x的线性函数f（x0）+f′（x0）（x-x0）来近似地表示函数f（x）.从几何上来看，用曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线来近似地代替切线点邻近部分的曲线.

在（2.6）式中，若取x0=0，则有

f（x）≈f（0）+f′（0）x　　（2.7）

（2.7）式，当｜x｜很小时，它就是求f（x）的近似计算公式.由此公式，我们便可得出下面的近似计算公式：当｜x｜很小时，

ex≈1+x　　ln（1+x）≈x

sin x≈x（x为弧度）　　tan x≈x（x为弧度）

（1+x）n≈1+nx

例5　求tan31°的近似值.

解　令f（x）=tan x，则f′（x）=sec2x取，则

tan x≈tan x0+sec2x0·Δx

例6　有直径为10cm的金属球，外面镀铜，铜的厚度为0.005cm，求所用铜的体积的近似值.

解　半径为R的球的体积为　　

由已知条件　　R0=5cm，ΔR=0.005cm

即所用铜的体积的近似值为1.57cm3.

例7　计算的近似值.

解　令，｜x｜=0.05时，｜x｜很小，可用推导的近似计算公式

若直接开平方 ，可见近似计算的结果还是比较精确的.

由于Δy=f′（x）Δx+o（Δx）=dy+o（Δx），因此，函数的增量Δy若用微分dy来近似代替，其误差为Δx的高阶无穷小.若｜Δx｜足够小，这样近似代替可达到一定精度.

便于讨论，给出误差的几个术语.设某量的精确值为A，它的近似值为a，则｜A-a｜称为a的绝对误差，而绝对误差与｜a｜的比值称为a的相对误差.在实际问题中，精确值A往往是无法知道的，因此，绝对误差也无法求得.但我们可知道绝对误差的限度，如，知道｜A-a｜<δ，则称δ为a的最大绝对误差，称为a的最大相对误差.

当x0靠近x时，f（x）可用（2.6）式近似计算，即

f（x）≈f（x0）+f′（x0）Δx

因此，当用f（x0）的值近似代替f（x）时，其绝对误差｜Δy｜≈｜f′（x0）Δx｜=｜f′（x0）｜｜Δx｜，相对误差

设测量x产生的最大绝对误差为δx，即｜Δx｜<δx，y的最大绝对误差为δy，则

δy=｜f′（x0）｜δx

因为　　｜Δy｜≈｜f′（x0）｜｜Δx｜≤｜f′（x0）｜δx

故其最大相对误差为

例8　多次测量血管直径的平均值为D=0.50mm，绝对误差的平均值为0.04mm，试计算血管截面积，并估计误差.

解　已知血管直径为D的圆面积为，则

由题意　D=0.5mm，ΔD=0.04mm

S的绝对误差｜ΔS｜，为

S的相对误差 为