传递函数是在零初始条件下，线性（或线性化）定常系统输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换之比。

传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有以下两方面含义：一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t≤0时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在t≤0时的值也为零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统性能。所以，这样规定是必要的。

设有线性定常系统，若输入为r（t），输出为c（t），则系统微分方程的一般形式为

　　（2-27）

式中，n≥m；a_n， b_m（n，m=0，1，2…）均为实数。

在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件r（0^-），r^（1）（0^-），…，r^（m-1）（0^-）和c（0^-），c^（1）（0^-），…，c^（n-1）（0^-）均为零时，对式（2-27）作拉普拉斯变换可得：

　　（2-28）

在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统的输出c（t）的拉普拉斯变换C（s）与输入r（t）的拉普拉斯变换R（s）之比，称为线性定常系统的传递函数G（s）。

由此可得式（2-27）的传递函数为：

　　（2-29）

则系统输出C（s）=G（s）R（s）。

微分方程与传递函数存在简单的对应关系，得到了系统的微分方程，则可以直接写出系统的传递函数，反之亦然。

[例2-7]　试求例2-1中无源RC低通滤波电路的传递函数。

[解]　由例2-1中的式（2-2）可知RC无源网络的微分方程为

　　（2-30）

在零初始条件下，对上式两端取拉普拉斯变换可得

　　（2-31）

式中，U_o（s）和U_i（s）分别为u_o（t）和u_i（t）的拉普拉斯变换，整理上式可得网络的传递函数为

　　（2-32）

式中，T为RC电路的时间常数，T=RC。

[例2-8]　试求例2-5中弹簧-质量-阻尼器位移系统的传递函数。

[解]　由例2-5中的式（2-16）可知该系统的微分方程为

　　（2-33）

设初始条件为零，对上式进行拉普拉斯变换得

　　（2-34）

由定义可得机械平移系统的传递函数为

　　（2-35）