学习单元二 电路的分析与计算
一、基尔霍夫定律
基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。为了便于讨论，先介绍几个名词。
（1）支路 电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。图2-11所示的电路中有三条支路，分别为adb、aeb、acb。
图2-11 电路举例
（2）节点 三条或三条以上支路的连接点称为节点。图2-11所示的电路中有两个节点，分别为a点和b点。
（3）回路 电路中任一闭合路径都称为回路。图2-11所示的电路中有三个回路，分别为adbca、adbea、aebca。
（4）网孔 回路平面内不含有其他支路的回路叫做网孔。图2-11所示的电路中有两个网孔，分别为adbea和aebca。
1.基尔霍夫电流定律（KCL）
任何时刻，对于电路中的任一节点，流入该节点的电流的代数和等于流出该节点的电流的代数和，这就是基尔霍夫电流定律，简称KCL，又称为节点电流定律。其数学表达式为
∑I入=∑I出
若规定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负，则电路中任一节点上电流的代数和恒等于零，即∑I=0。
对于图2-12所示电路中的节点a，应用基尔霍夫电流定律可写出I1+I2-I3=0，也可改写为I1+I2=I3。
图2-12 基尔霍夫电流定律示例
KCL也可以推广运用于电路的任一假设的封闭面，如图2-13所示，则I1+I3-I2=0。
图2-13 基尔霍夫电流定律的推广应用
【例2-4】 图2-14电路中，已知I1=1A，I2=2A，I5=3A，求电路I3、I4、I6的值。
解：由基尔霍夫电流定律，对于节点a，有
I3=I1+I2=1+2=3A
对于节点b，有
I5=I3+I4
I4=I5-I3=3-3=0A
对于节点c，有
I6=I2+I4=2+0=2A
图2-14 例2-4图
2.基尔霍夫电压定律（KVL）
任何时刻，沿着任一个回路绕行一周，所有支路电压的代数和恒等于零，这就是基尔霍夫电压定律，简写为KVL，用数学表达式表示
∑U=0
用此公式，先要任意规定回路绕行的方向，凡支路电压的参考方向与回路绕行方向一致者，此电压前面取“+”号，支路电压的参考方向与回路绕行方向相反者，则电压前面取“-”号。
图2-15是某电路的一部分，各支路电压的参考方向和回路的绕行方向如图所示，应用基尔霍夫电压定律，可以列出
UAB+UBC+UCD=-E1+I1R1+I2R2+E2-I3R3=0
图2-15 KVL的应用
这就是基尔霍夫电压定律的另一种表达形式，可叙述为任一瞬时，电路中的任一回路各电压降的代数和恒等于这个回路内各电动势的代数和。凡电动势Ej、电流Ik与回路绕行方向一致者取“+”号，相反者取“-”号。
【例2-5】 有一闭合回路如图2-16所示，各支路的元件是任意的，已知UAB=5V，UBC=-4V，UDA=-3V。试求：①UCD；②UCA。
图2-16 例2-5图
解：①由基尔霍夫电压定律可列出
UAB+UBC+UCD+UDA=0
即
5+（-4）+UCD+（-3）=0
得
UCD=2V
②ABCA不是闭合回路，也可应用基尔霍夫电压定律列出
UAB+UBC+UCA=0
即5+（-4）+UCA=0
得UCA=-1V
不论元件是线性的还是非线性的，电流、电压是直流的还是交流的，KCL和KVL都适用。
【例2-6】 如图2-17所示电路，已知Us1=2V，Us2=12V，Us3=6V，R1=4Ω，R2=1Ω，R3=3Ω，试求a、b两点间的电压Uab。
图2-17 例2-6图
解：因为a、b两端为开路，所以电路中只有一个闭合的回路，选回路的绕行方向与其电流的参考方向一致，如图所示，则据KVL得
Us2+IR2+IR1-Us1=0
Uab=Us3+Us2+UR2+UR3=Us3+Us2+IR2+IR3R3=6+12+（-2）×1+0=16（V）
二、支路电流法
以支路电流为电路变量，通过KCL、KVL列方程，解方程求出各支路电流的方法，称为支路电流法。
设电路中有n个节点，b条支路，可以证明，由KCL可列出n-1个独立的电流方程。由KVL可列出b-（n-1）个独立的电压方程，联立可得b个独立方程。若把b-（n-1）个独立的电压方程中的电压用支路电流来表示，则可得b个独立的电流方程，然后解方程组就可求出各支路的电流。
例如，电路如图2-18所示，电路中有2个节点，3条支路，那么独立的KCL方程应该为1个。对2个节点中节点a列方程得
I1+I2-I3=0 （2-1）
对节点b列方程得
-I1-I2+I3=0
将节点a的方程乘以-1，就是节点b的方程，因此，节点a与节点b的方程只有一个是独立的。对于节点电流方程，有如下的结论：若电路有n个节点，则可以列出n-1个独立的节点电流方程。本例中选取节点a的电流方程作为独立方程，将其记作式（2-1）。同样，所列的回路电压方程应该是独立的，为此，选定的每一个回路必须至少包含一条新的支路。为简单起见，通常选择单孔列回路电压方程。
按顺时针方向绕行，对左面的网孔列写KVL方程：
R1I1-R2I1=Us1-Us2 （2-2）
按顺时针方向绕行，对右面的网孔列写KVL方程
I2R2+I3R3=Us2 （2-3）
本例电路中共有3条支路，相应的有3个待求电流I1、I2和I3，为了求解待求的支路电流，需要3个独立的方程。
支路电流法的步骤如下。
先选定b条支路的电流参考方向，以它们为电路变量。
①对n-1个节点列写KCL方程。
②对b-（n-1）个独立回路列写KVL方程（通常有几个单孔回路，就列出几个回路方程）。
③列出b个方程，解这些方程，即得各支路电流。
【例2-7】 电路如图2-18所示，Us1=130V、R1=1Ω为直流发电机的模型，电阻负载R3=24Ω，Us2=117V、R2=0.6Ω为蓄电池组的模型。试求各支路电流。
图2-18 支路电流法举例
解：以支路电流为变量，应用KCL、KVL列出下式：
解得I1=10A，I2=-5A，I3=5A。
I2为负值，表明它的实际方向与所选参考方向相反，这个电池组在充电时是负载。
三、叠加定理
对于无源元件来讲，如果它的参数不随其端电压或通过的电流而变化，则称这种元件为线性元件。比如电阻，如果服从欧姆定律U=IR，则
为常数，这种电阻就称为线性电阻。由线性元件所组成的电路，称为线性电路。
在线性电路中，多个电源（电压源或电流源）共同作用在任一支路所产生的响应（电压或电流），等于这些电源分别单独作用在该支路所产生响应的代数和。
在应用叠加定理考虑某个电源的单独作用时，应保持电路结构不变，将电路中的其他理想电源视为零值，亦即理想电压源短路，电动势为零；理想电流源开路，电流为零。下面通过实例说明应用叠加定理分析电路的方法，电路如图2-19所示。
图2-19 叠加定理举例
R2支路的电流
使用叠加定理时，应注意以下几点：
①只能用来计算线性电路的电流和电压，对非线性电路，叠加定理不适用；
②叠加时要注意电流和电压的参考方向，求其代数和；
③化为几个单独电源的电路来进行计算时，所谓电压源不作用，就是在该电压源处用短路代替，电流源不作用，就是在该电流源处用开路代替；
④不能用叠加定理直接计算功率。
【例2-8】 电路如图2-20（a）所示，桥形电路中R1=2Ω，R2=1Ω，R3=3Ω，R4=0.5Ω，Us=4.5V，Is=1A。试用叠加定理求电压源的电流I。
图2-20 例2-8图
解：①当电压源单独作用时，电流源开路，如图2-20（b）所示，各支路电流分别为
②当电流源单独作用时，电压源短路，如图2-20（c）所示，则各支路电流为
③两个独立源共同作用时，电压源的电流为
I=I'+I″=3.9+0.267=4.167A
四、戴维南定理
1.概述
具有两个端钮的电路，称为二端网络，如图2-21所示。根据网络内部是否含有独立电源，二端网络又可分为有源二端网络和无源二端网络。二端网络内部含有独立电源则称为有源二端网络，二端网络内部不含独立电源则称为无源二端网络。
图2-21 二端网络的概念
2.戴维南定理
任一线性有源二端网络，对其外部电路来说，都可用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0相串联的有源支路来等效代替。这个有源支路的理想电压源的电动势E等于网络的开路电压Uo，内阻R0等于相应的无源二端网络的等效电阻，这就是戴维南定理。
所谓相应的无源二端网络的等效电阻，就是原有源二端网络所有的理想电压源及理想电流源均除去后网络的入端电阻。除去理想电压源，即E=0，理想电压源所在处短路；除去理想电流源，即Is=0，理想电流源所在处开路。
利用戴维南定理求解支路电流（电压）：
①断开待求支路；
②求有源二端网络的戴维南等效电路；
③接上待求支路，求电流（电压）。
【例2-9】 图2-22（a）所示为一不平衡电桥电路，试求检流计的电流I。
图2-22 例2-9图
解：根据戴维南定理对电路进行化简，如图2-22（b）、（c）、（d）所示，可得
【例2-10】 求图2-23（a）所示电路的戴维南等效电路。
图2-23 例2-10图
解：先求开路电压Uab［图2-23（a）］
I2=5mA
Uab=-1.8I2+0.4I1=-1.8×5+0.4×4.2=-7.32V
然后求等效电阻Ri［图2-23（b）、（c）］
即
Uab=-7.32V，Ri=1.93kΩ
五、电路中电位
在电路中任选一点为参考点，则某点到参考点的电压就叫做这一点（相对于参考点）的电位。参考点在电路图中用符号“⊥”表示。
注意：①电路中各点的电位值与参考点的选择有关，当所选的参考点变动时，各点的电位值将随之变化；
②习惯上规定参考点的电位为零，即V0=0；
③在电子线路中一般选择元件的汇集处，而且常常是电源的一个极作为参考点，在工程技术中常选择大地作为参考点。
【例2-11】 图2-24所示电路中，已知U1=5V，Uab=2V，试求：①Uac；②分别以a点和c点作参考点时，b点的电位和bc两点之间的电压Ubc。
图2-24 例2-11图
解：（1）Uac=U1=5V
（2）以a点为参考点，则Va=0，因为Uab=Va-Vb，所以
Vb=Va-Uab=0-2=-2V
Vc=Va-Uac=0-5=-5V
Ubc=Vb-Vc=-2-（-5）=3V
（3）若以c点为参考点，则Vc=0V，因为Uac=Va-Vc，所以
Va=Vc+Uac=0+5=5V
Vb=Va-Uab=5-2=3V
Ubc=Vb-Vc=3-0=3V
由以上计算可以看出，当以a点为参考点时，Vb=-2V；当以c点为参考点时，Vb=3V；但b、c两点间的电压Ubc始终是3V。这说明电路中各点的电位值与参考点的选择有关，而任意两点间的电压与参考点的选择无关。
实验六 基尔霍夫电流定律的认识与验证
实验目的
①学会使用电流表（万用表）测电流。
②学会验证基尔霍夫电流定律。
③加深对电流参考方向的理解。
实验原理
任一时刻，任一节点电流的代数和恒等于零（流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和）。表达式：
∑I=0或∑I入=∑I出
实验设备
数字万用表 1台。
各类电阻 若干。
电流表 3块。
直流电源 1台。
实验电路图（图2-25）
图2-25 实验电路图
实验内容及步骤
①调节稳压电源使Us1=12V，Us2=12V。
②按接线图连接，检查无误接通电源。
③读取电流表数值I1、I2、I3，记录于表2-1中（电流值的正、负根据电流表“+”“-”端连接判断）。
④调节稳压电源使Us1=6V，Us2=12V，重复步骤②、③
⑤验证基尔霍夫电流定律。
表2-1 基尔霍夫电流定律数据记录
实验数据分析及结论
根据表格中所测数据：
①I为“-”说明什么？
②I1、I2、I3之间关系是怎样的？
③完成实验报告。
实验七 基尔霍夫电压定律的认识与验证
实验目的
①学会使用电压表（万用表）测电压。
②学会验证基尔霍夫电压定律。
③加深对电压参考方向的理解。
实验原理
任一时刻，任一回路，从一点出发绕回路一周回到该点时，各段电压的代数和恒等于零。表达式：
∑U=0
实验设备
数字万用表 1台。
各类电阻 若干。
电压表 3块（或万用表1块）。
直流电源 1台。
实验电路图（图2-26）
图2-26 实验电路图
实验内容及步骤
①调节稳压电源使Us1=12V，Us2=12V。
②按电路图连接，检查无误接通电源。
③读取电压表数值UAB、UBD、UCB，记入表2-2中（电压值的正、负根据电压表“+”“-”端连接判断）。
④调节稳压电源使Us1=6V，Us2=12V，重复步骤②、③。
⑤验证基尔霍夫电压定律。
表2-2 基尔霍夫电压定律数据记录
实验数据分析及结论
根据表中所测数据：
①U为“-”说明什么？
②UAB+UBD-Us1=？ UCB+UBD-Us2=？
③完成实验报告。
［模块总结］
①实际电源有两种模型：一种是理想电压源与电阻串联组合；一种是理想电流源与电阻并联组合。
②为电路提供一定电压的电源称为电压源。如果电压源内阻为零，电源将提供一个恒定电压，称为理想电压源。为电路提供一定电流的称为电流源。如果电流源内阻为无穷大，电源将提供一个恒定不变的电流，称为理想电流源。
③两种电源模型之间等效变换的条件是Us=IsR0或
。这种等效变换仅对外电路等效，对电源内部是不等效的，且在等效变换时Us与Is的方向应该一致。
④基尔霍夫电流定律，数学表达式为∑I入=∑I出。也可表示为：在任一节点上，各电流的代数和等于零，数学表达式为∑I=0，流入电流为正，流出电流为负。
⑤基尔霍夫电压定律，数学表达式为∑U=0，也可表示为∑UR=∑E。
⑥叠加定理是线性电路中普遍使用的一个基本定理。只能叠加线性电路的电压与电流，不能叠加功率。
［模块检测］
1.填空题
（1）两种电源模型之间等效变换的条件是 ，且等效变换仅对 等效，而电源内部是 的。
（2）理想电压源的输出电压与理想电流源的输出电流是由 确定的定值，是不随外接电路的改变而改变的。
（3）基尔霍夫电流定律的数学表达式为 ，电压定律的数学表达式为 。
（4）在应用叠加定理考虑某个电源的单独作用时，应保持电路结构不变，将电路中的其他理想电源视为零值，亦即理想电压源 ，电动势为 ；理想电流源 ，电流为 。
（5）叠加定理只适用于 和 的计算，而不能用于 的叠加计算，因为 和电流的平方成正比，不是线性关系。
（6）一个具有b条支路、n个节点（b>n）的复杂电路，用支路电流法求解时，需列出 个方程式来联立求解，其中 个为节点电流方程式， 个为回路电压方程式。
2.判断题
（1）理想电压源的输出电流和电压都是恒定的，是不随负载变化而变化的。（ ）
（2）叠加定理仅适用于线性电路，对非线性电路则不适用。（ ）
（3）叠加定理不仅能叠加线性电路中的电压与电流，也能对功率进行叠加。（ ）
（4）任何一个含源二端网络，都可以用一个电压源模型来等效代替。（ ）
（5）用戴维南定理对线性二端网络进行等效替代时，对电路都是等效的。（ ）
（6）基尔霍夫电流定律表述为：对于电路中任一节点，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。（ ）
（7）运用基尔霍夫电流定律列方程时，各支路电流的参考方向不能均设为流进节点，否则将只有流入节点的电流，而无流出节点的电流。（ ）
（8）在列某节点的电流方程时，均以电流的参考方向来判断电流是“流入”还是“流出”节点。（ ）
3.选择题
（1）电压源和电流源的输出端电压（ ）。
A.均随负载的变化而变化；
B.均不随负载的变化而变化；
C.电压源的输出端电压不变，电流源的输出端电压随负载而变化；
D.电流源的输出端电压不变，电压源的输出端电压随负载而变化。
（2）基尔霍夫电流定律的数学表达式为（ ）。
A.∑I入=∑I出
B.∑E=∑IR
C.U=IR
D.E=I（R+r）
（3）基尔霍夫电压定律的数学表达式为（ ）。
A.∑I入=∑I出
B.∑E=∑IR
C.U=IR
D.E=I（R+r）
（4）将图2-27所示电路化为电压源模型，其电压Us和电阻R为（ ）。
A.2V，1Ω
B.1V，2Ω
C.2V，2Ω
D.4V，2Ω
图2-27
（5）用叠加定理计算图2-28中的电流I为（ ）。
A.0A
B.1A
C.2A
D.3A
图2-28
4.计算题
（1）将图2-29中所示电路化成等值电流源电路。
图2-29
（2）将图2-30所示电路化成等值电压源电路。
图2-30
（3）图2-31所示回路中已标明各支路电流的参考方向，试用基尔霍夫电压定律写出回路的电压方程。
图2-31
（4）图2-32所示电路中，若以B为参考点，求A、C、D三点的电位及UAC、UAD、UCD。若改C点为参考点，再求A、C、D三点的电位及UAC、UAD、UCD。
图2-32
（5）求图2-33所示电路中的电压UAB。
图2-33
（6）图2-34所示为一直流三线供电系统，已知两根线的电流I11=2A，I12=3A，负载电阻R1=R2=R3=1Ω。试求I13及各负载的电流I1、I2、I3。
图2-34
（7）求图2-35所示电路中A点的电位VA。
图2-35
（8）对图2-36所示电路，试计算开关S断开和闭合时A点的电位VA。
图2-36
（9）电路如图2-37所示，试列出求解各支路电流所需的方程。
图2-37
（10）试将图2-38（a）与（b）分别用等效电压源来代替，再变换成等效电流源。
图2-38
（11）试将图2-39用等效电流源来代替，再变换成等效电压源。
图2-39
（12）试用支路电流法求图2-40所示电路中的电流I1、I2、I3。已知E1=220V，E2=E3=110V，内阻R01=R02=R03=1Ω，负载电阻R1=R2=R3=9Ω。
图2-40
（13）试用支路电流法求图2-41所示网络中通过电阻R3支路的电流I3及理想电流源的端电压U。已知Is=2A，E=2V，R1=3Ω，R2=R3=2Ω。
图2-41
（14）试用叠加定理求解图2-42所示电路中的电流I。
图2-42
（15）试求图2-43所示电路中的电压U。
图2-43
（16）电路如图2-44所示，I=1A，试求电动势E。
图2-44
（17）图2-45所示为一电桥电路，试用戴维南定理求通过对角线bd支路的电流I。
图2-45
（18）试用戴维南定理求图2-46所示电路中通过10Ω电阻的电流I。
图2-46
（19）试用一等效电压源来代替图2-47中所示的各有源二端网络。
图2-47