2.3　边界元法和有限体积法简介

2.3.1　边界元法

边界元法（Boundary Element Method，BEM）是在综合有限元法和经典边界积分法基础上发展起来的一种数值方法。边界元法的中心思想是：以微分控制方程的基本解为权函数，利用加权余量法将区域积分转化为边界积分，并结合求解域边界的离散，构建基于边界单元的代数方程组，然后进行计算求解。同有限元法相比，边界元法具有下述特点。

①网格的划分只在求解域边界上进行（图2-20），使得其前处理工作量大大减少；

②一旦获得边界解，便可利用积分表达式直接求解域内任意一点的变量值，从而大大降低数值计算规模；

③基本解自身的奇异性导致边界元法在求解奇异性问题时具有较高的计算精度；

④在处理载荷集中、半无限域等特殊问题上具有优势。

边界元法的弱点主要表现在：

①边界元法以存在相应微分控制方程基本解为前提，而对于非均质和非线性问题其基本解很难获得；

②基于边界元法建立的代数方程组，其系数矩阵满秩不对称，不能有效利用有限元法开发的成熟技术进行计算求解；

③对非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只离散边界的优点。

此外，同有限元法相比，边界元法的研究、开发和应用历史较短，所以，基于边界元法的软件系统功能及其商品化程度远不如有限元法。

尽管如此，边界元法的应用研究已经遍及弹性力学、断裂、接触、多相、耦合、大变形、塑性、黏弹塑性、热传导、热弹性、流体岩土、电磁场、过程优化等多个领域。边界元法在材料成形数值模拟领域也有涉足，例如，著名的注射成形分析软件Moldflow利用基于边界元法的程序来模拟塑件的冷却过程和冷却系统的热交换过程。