2.2.3　利用有限差分法求解应用问题的一般步骤

现仍以一维非稳态传热问题为例，介绍利用有限差分法求解的一般步骤。其中，建立满足实际应用需要的差分格式（包括控制方程和初边值条件）是求解问题的关键。

设一维对象的长度为L，材料的热物性已知并为常数；初始条件为T₀（即被求解对象的初始温度），边界条件固定且已知为T_w（即对象两端的界面温度）。在此基础上建立定解问题的微分格式如下

　　（2-86）

T（x，0）=T₀　　（2-87）

T（0，t）=T（L，t）=T_w　　（2-88）

式中　α=λ/（ρC_p）——热扩散系数；

λ、ρ、C_p——材料的热导率、密度和比热。

①离散求解域（0<x<L，t>0）

　　（2-89）

式中　i=0→x_i=0；i=m→x_i=L。

②用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方程式（2-86）的对应项

　　（2-90）

③将式（2-90）代入式（2-86）并改写成显式差分格式，同时将初边值条件式（2-87）、式（2-88）也差分化，最后得

　　（2-91）

式中，。

④选择适当的计算方法求解线性代数方程组［式（2-91）］。

⑤将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，供实际应用参考。

从上述一般步骤可知，利用有限差分法求解工程问题不需要构建形函数，也无积分矩阵计算，其数学处理要比有限元法简洁得多。