2.2.2　有限差分数学知识

2.2.2.1　差分概念与逼近误差

（1）差分概念

设自变量x的解析函数为y=f（x），则根据微分学中的函数求导原理，有

　　（2-53）

式中　dy，dx——函数和自变量的微分；

dy/dx——函数对自变量的一阶导数（亦称微商）；

　Δy，Δx——函数和自变量的差分；

Δy/Δx——函数对自变量的一阶差商。

因为Δx趋近于零的方向任意，所以，与微分对应的差分项有三种表达方式

向前差分

Δy=f（x+Δx）-f（x）　　（2-54）

向后差分

Δy=f（x）-f（x-Δx）　　（2-55）

中心差分

　　（2-56）

仿照式（2-54）～式（2-56），可以推导出二阶差分、二阶差商和n阶差分、n阶差商的数学表达式。以向前差分和差商格式为例

　　（2-57）

　　（2-58）

　　（2-59）

　　（2-60）

以及多元函数差分、差商的一阶、二阶和n阶等表达式，例如，自变量为x₁，x₂，…，x_n的多元函数f（x₁，x₂，…，x_n）的一阶向前差商

　　 （2-61）

　　 （2-62）

　　 （2-63）

（2）逼近误差

逼近误差是指：当自变量的差分（增量）趋近于零时，差商逼近导数的程度。如果逼近误差在工程应用允许的范围内，则可用差商代替导数求解实际问题。由函数的泰勒（Taylor）展开式，可以预测逼近误差相对自变量差分的量级，该量级称为差商代替导数的精度，简称差商的精度。

对于只有一个自变量的函数f（x），将其差分f（x+Δx）在x邻域Δx内作Taylor展开，有

　　（2-64）

基于式（2-64）可以证明，差商的逼近误差（精度）与O［（Δx）ⁿ］的量级相当，且一阶向前、向后差商均具有一阶精度（n=1）；而一阶中心差商和二阶中心差商具有二阶精度（n=2）。

例如：针对一阶向前差分，可将式（2-64）简化成

f（x+Δx）=f（x）+Δxf'（x）+O（Δx）

或

当Δx→0时

2.2.2.2　差分方程、截断误差和相容性

（1）差分方程

在数学上，微分和导数对应于连续数域，而差分和差商对应于离散数域。同理，在工程应用上，微分方程用于求解连续对象问题，而差分方程用于求解离散对象问题。例如：求解一维非稳态对流的初值问题，其微分格式为

　　（2-65）

式中　　　　 α——对流系数；

　ζ（x，t）——对流场函数；

——初始条件下的已知对流畅函数。

将式（2-65）的求解域离散成有限差分网格（见图2-18），其中：Δx、Δt分别称为空间步长和时间步长。通常，差分网格中的水平间距Δx取等步长（空间等距差分），当然也可取变步长（空间变距差分）；而垂直间距Δt一般同Δx和α有关，当Δx和α为常数时，Δt也取常数（时间等距差分）。对于等距差分，域内任一节点（x_i，t_n）的坐标可以用初始节点坐标（x₀，0）表示，即

于是，初值问题式（2-65）在离散域节点（x_i，t_n）处可表示为

　　（2-66）

式中，α被假设为常数。若α是x的函数，则应改写成α_i。

如果式（2-66）中的时间导数用一阶向前差商、空间导数用一阶中心差商表示，即

则有

　　（2-67）

式（2-67）即为一维对流问题的时间向前差分、空间中心差分（FTCS）格式。其中

被分别称为一维非稳态对流初值问题的差分格式控制方程（简称差分方程）和初始条件。

同理，还可用时间和空间均向前差分（FTFS），或时间向前、空间向后差分（FTBS）等格式表示初值问题［式（2-65）］。

三种差分格式的几何示意见图2-19。

（2）截断误差

根据2.2.1.2小节的逼近误差分析可知，由于用时间向前差商代替时间导数、用空间中心差商代替空间导数时分别存在量级为O（Δt）和O［（Δx）²］的逼近误差，因此，一维对流的微分方程与差分方程之间也存在某种误差。数学上将这种用差分方程代替微分方程所引起的误差称为截断误差。可以证明，FTCS格式的截断误差为

　　（2-68）

而FTFS和FTBS格式的截断误差均为

　　（2-69）

上述两式中的实际上代表了时间与空间的累积误差，其误差量级对于FTCS格式的差分方程而言为时间一阶、空间二阶；对于FTFS和FTBS格式的差分方程而言，时间和空间均为一阶。

（3）定解问题的相容性

定解问题的相容性表示同一问题的差分格式与微分格式之间的逼近程度，取决于控制方程（即表征物理问题的数学方程）的逼近程度和定解条件（即初、边值条件）的逼近程度。

①方程相容　设微分方程

D（ζ）=f　　（2-70）

对应的差分方程

D_Δ（ζ）=f　　（2-71）

式中　D——微分算子；

　D_Δ——差分算子；

ζ——未知函数；

f——已知函数。

现用差分方程代替微分方程，于是有截断误差

R=D_Δ（ϕ）-D（ϕ）　　（2-72）

式中　ϕ——定义在求解域上的一个足够光滑的函数（例如代数函数）。

如果截断误差的范数‖R‖满足

　　（2-73）

则差分方程与相应的微分方程相容（方程相容），否则不相容。

②定解条件相容　设微分方程式（2-70）的定解条件

B（ζ）=g

差分方程式（2-71）的定解条件

B_Δ（ζ）=g

式中　B、B_Δ、g—— 微分算子、差分算子和已知函数。

用差分定解条件代替微分定解条件产生的误差

r=B_Δ（ϕ）-B（ϕ）　　（2-74）

称为定解条件截断误差。

如果定解条件截断误差的范数‖r‖满足

　　（2-75）

则称方程式（2-71）和式（2-70）的定解条件相容，否则不相容。

③定解问题相容　如果差分方程和微分方程相容，并且差分定解条件和微分定解条件也相容，即

　　（2-76）

则定解问题相容。换句话说，只有在式（2-76）成立的前提下，才可以用同一定解问题的差分格式代替微分格式进行求解。

由于Δx、Δt→0有两种情况，所以，定解问题相容也有两种情况。当Δx、Δt各自独立趋近于零时，定解问题无条件相容；而当其以一定关系（例如Δt=K×Δx）趋近于零时，定解问题条件相容。

2.2.2.3　收敛性与稳定性

（1）差分解的收敛性

①收敛性定义　设：差分网格上任一节点（x_i，t_n）的差分解为，而该节点对应的微分解为ζ（x_i，t_n），两者之间的误差（离散误差）。

如果离散误差的范数满足

　　（2-77）

则差分格式的解收敛于相应微分格式的定解。

可以证明，如果Δx、Δt各自独立趋近于零，则差分解无条件收敛于微分解，反之，差分解条件收敛于微分解。

②相容性与收敛性的关系　相容性回答差分方程逼近微分方程、差分定解条件逼近微分定解条件的程度问题，即在什么前提下，可以用同一定解问题的差分格式代替微分格式求解。但是相容性并没有说明获得的对应解之间存在多大误差，即差分格式解能否收敛于微分格式解。收敛性回答在差分问题和微分问题相容的前提下，对应解之间的逼近程度（即一致性）问题。

由于讨论方程相容和定解条件相容时，是在定解问题的差分格式和微分格式具有同一解ζ（t，x）或定解域内存在一个足够光滑的函数ϕ、并且可以在点（x_i，t_n）的邻域内对函数ϕ作Taylor展开的基础上，推导出的方程截断误差和定解条件截断误差。也就是说，截断误差R、r实质上是在假设同一问题的差分格式和微分格式具有同一解的前提下，推导出的两种方程、两种定解条件之间的误差。从收敛性定义可知，R、r并不代表定解问题的真正误差，即不同格式对应解之间的逼近程度，因为还存在着一个求解域的离散误差。所以，定解问题的相容性仅仅是其解具有收敛性的必要条件。

（2）差分格式的稳定性

差分格式的稳定性是指定解条件的微小变化和计算误差的累积是否对求解结果有显著影响。由于差分格式的稳定性与具体的差分格式有关，所以这里仅给出一种利用差分解判断差分格式是否稳定的通式。

设差分解，若式

‖Z‖≤K₁‖D_Δ（Z）‖+K₂‖B_Δ（Z）‖ 　　（2-78）

成立，则给定差分格式是稳定的，否则是不稳定的。也就是说，如果差分解的范数‖Z‖始终小于或等于差分方程范数与经差分处理的定解条件范数之和，则差分格式是稳定的。在式（2-78）中，D_Δ、B_Δ是对应于微分方程和定解条件的差分算子；K₁、K₂是不受Δx→0、Δt→0影响的Lipschitz常数。若取

K=max（K₁，K₂）

则

　　（2-79）

差分格式的稳定性有条件稳定和完全稳定之分。如果在一定条件下，某一节点解对后续节点解的影响很小或保持在某个限度内，则该差分格式是条件稳定的。如果在任何条件下得到的差分解都稳定，则该差分格式是完全稳定的。

2.2.2.4　相容性、收敛性和稳定性之间的联系

定解问题的相容性、差分解的收敛性和差分格式的稳定性之间存在某种联系，该联系可以用Lax等价定理加以描述，即：对于一个适定的线性微分问题及一个与之相容的差分格式，如果该格式稳定，则必收敛；不稳定，则必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。

现给出Lax等价定理的简单证明：设D、D_Δ分别为控制方程的线性微分算子和差分算子，B、B_Δ分别为定解条件的线性微分算子和差分算子，ζ、Z分别为微分格式解和差分格式解，f、g分别为对应于控制方程和定解条件的已知函数，R、r分别为控制方程和定解条件的截断误差。

在定解域内，有

上述对应表达式相减，得

D_Δ（Z）-D（ζ）=0， B_Δ（Z）-B（ζ）=0

或

［D_Δ（Z）-D_Δ（ζ）］+［D_Δ（ζ）-D（ζ）］=0　　（2-80）

［B_Δ（Z）-B_Δ（ζ）］+［B_Δ（ζ）-B（ζ）］=0　　（2-81）

因D、D_Δ、B、B_Δ均为线性，故有

D_Δ（Z）-D_Δ（ζ）=D_Δ（Z-ζ）， D_Δ（ζ）-D（ζ）=R

B_Δ（Z）-B_Δ（ζ）=B_Δ（Z-ζ）， B_Δ（ζ）-B（ζ）=r

将其分别代回式（2-80）和式（2-81），得：

D_Δ（Z-ζ）=-R， B_Δ（Z-ζ）=-r　　（2-82）

若差分格式是稳定的，则按稳定性定义，存在

　　（2-83）

将式（2-82）中的两个截断误差代入式（2-83）的对应项，得

　　（2-84）

当定解问题相容时，因

于是有

　　（2-85）

即差分解收敛于微分解。