2.2　有限差分法基础

2.2.1　有限差分法的特点

有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法之一，在材料成形领域的应用较为普遍，同有限元法一道成为材料成形计算机模拟的两种主要方法。目前，有限差分法在材料加工的传热分析（如铸造过程传热、锻压过程传热、焊接过程传热等）和流动分析（如铸液充型、焊接熔池移动等）方面占有较大比例。特别是在流动场分析方面，有限差分法显示出独特的优势，因而成为MAGMA（德国）、NOVACAST（瑞典）、华铸CAE（中国）等铸造模拟软件的技术内核之一。此外，一向被认为是有限差分法弱项的应力分析，如今也在技术开发与工程应用上取得了长足进步。即使是在有限元法占主导地位的一些材料加工领域，也能见到有限差分法涉足的身影，例如材料非稳态成形中与时间交互相关的部分，常常用有限差分法进行离散求解。由此可以预见，随着有限差分技术与计算机技术的不断发展，有限差分法将在材料加工领域得到更加广泛的应用。

有限差分法的基本思想是将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格为矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立含有限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条件后求解差分方程组，该差分方程组的解就是原微分方程定解问题的数值近似解。

有限差分法是一种直接将微分问题转变成代数问题的近似数值解法，其最大特点是网格划分规整，无需构建形函数，不存在单元分析和整体分析，数学建模简便，但不太适合处理具有复杂边界条件的工程问题。如图2-17所示，有限差分网格在处理求解对象的几何边界上缺乏灵活性，即边界节点没有全部坐落在边界线（面）上。有限差分法多用于传热、流动等工程问题的求解。

构造有限差分的数学方法有多种，目前普遍采用的是泰勒（Taylor）级数展开法，即将展开式中求解连续场控制方程的导数用网格节点上函数值的差商代替，进而建立起基于网格节点函数为未知量的代数方程组。常见的差分格式有：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。考虑到时间因子的影响，差分格式可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等。通过不同差分格式的组合，可以灵活求解时间与空间的交互问题。