2.1.4　非线性问题的有限元法

前面结合有限元方程建立与应用所举的例子均为线性或稳态问题，例如：平面刚度分析和平面稳态热传导分析等。在材料成形领域，线弹性体系的刚度分析可用于各种成形模具、工装夹具和焊接结构等的开发与设计，稳态传热分析可用于工件保温、退火、自然冷却、人工时效和砂型铸模传热等过程模拟。然而，材料成形过程中大量遇到的却是一些非线性工程问题，例如：固态金属锻压中的冷、热塑性变形，液态金属充型中的流动、凝固与传热，固体材料熔化焊中的传热、物理冶金与焊缝凝固，热塑性塑料注射成形中的黏性流动与冷却固化，模具零件淬火热处理中的传热与相变等。

有限元法在材料成形领域（如冲压、锻压、铸造、焊接、注射等）中应用所涉及的某些专业知识，将根据需要分散到后续章节讨论与补充，本小节仅简要介绍与材料成形相关的非线性问题基本概念和求解非线性方程组的基本方法。

2.1.4.1　材料成形领域中的非线性问题

材料成形领域遇到的非线性问题主要体现在以下三个方面。

（1）材料非线性

材料非线性多指材料变形时的应力与应变关系（本构关系）非线性。图2-13分别为弹塑性、刚塑性、刚黏塑性和黏弹塑性材料在拉伸或压缩变形时的典型应力-应变曲线。

比较图2-13中的各曲线特征可知，当前三类材料的变形进入塑性区后，均存在某种程度的应变硬化现象，即随着材料塑性变形量的增加，维持其变形所需的应力（流动应力）也增加，并且两者之间的关系是非线性的；刚黏塑性材料与弹塑性材料的区别在于前者的弹性变形相对于其塑性变形可以忽略不计，即假设材料屈服前为刚性；刚塑性材料与刚黏塑性材料的区别在于后者的应力应变关系还与应变速率有关；最后一类黏弹塑性材料的应力应变关系属于高度非线性，其典型代表为（中等结晶的）热塑性塑料。

实际上，不同的成形加工方法会使同样的材料呈现不同的非线性性质。例如：金属材料的冲压成形，其应力应变遵循弹塑性本构关系；热锻成形，遵循刚黏塑性本构关系；铸造成形，遵循牛顿黏性流体本构关系。

（2）几何非线性

几何非线性是指由物体内质点的大位移和大转动引起的非线性，力学上表现为研究对象的几何方程不满足线性关系。例如图2-14所示的材料弯曲，塑变区的材料质点不仅存在大位移，而且还存在某种程度的转动。

（3）边界非线性

边界非线性是指边界条件呈现非线性变化。例如：模锻时，毛坯与模膛表面的接触和摩擦（图2-15），即使不考虑软硬质点的黏着问题，其接触点3也不会沿模膛表面呈线性滑动。

2.1.4.2　求解非线性方程组的基本方法

无论是材料非线性问题或是几何非线性问题，经有限元法处理后，最终都将被归结为求解非线性方程组。离散化的非线性方程组一般可表示为

K（a）a=Q　　（2-52）

或

Ψ（a）≡P（a）-Q≡K（a）a-Q=0

式中　　 a——未知场函数的近似解；

K（a）——非线性方程组的系数矩阵；

Q——外载荷列矩阵。

由式（2-52）可知，非线性方程组的系数矩阵是变量矩阵。在工程上，常常借助增量法将载荷或时间离散成若干个增量步，针对每一步载荷或时间增量，“线性化”方程组［式（2-52）］将非线性问题转化成一系列线性问题进行求解。具体做法概括起来就是：

①离散载荷或时间为m个增量步；

②设全局载荷初值或时间初值，利用迭代法计算第一增量步（i=1）内的“线性”方程组；

③当第一增量步内的迭代计算误差小于规定值后，即将最后一次的迭代结果作为第一增量步（当前增量步）的解；

④判断m个增量步是否全部计算完毕，即不等式i>m是否成立；

⑤如果i≤m，则i=i+1，并以当前增量步的迭代解作为初值，进行下一增量步的迭代计算；

⑥循环第④、⑤步工作，直到i>m。

2.1.4.3　非线性有限元解的稳定性

当利用增量-迭代混合法求解方程组［式（2-52）］时，增量步长的选取对有限元解的稳定性影响极大。所谓有限元解的稳定性是指：当载荷步或时间步的长度（步长）取不同值时，方程组［式（2-52）］的收敛误差是否趋于恒定或波动最小。如果增量步长取任意值，误差都不会无限增长，则称有限元解为无条件稳定；如果增量步长只有在满足一定条件时，误差才不会无限增长，则称有限元解为条件稳定。图2-16表示计算某瞬态传热过程，当时间步长Δt分别取1.5和2.6时所对应的有限元解收敛误差变化轨迹，其中，横坐标表示迭代次数，纵坐标表示迭代计算的收敛误差。增量步长的选取受多种因素影响，具体方法请参阅后续章节的相关内容。