第11章　利润最大化

1．约翰割草服务公司是一个小厂商，是一个价格接受者（即MR＝P）。修剪草坪的现行市场价格为每亩20美元，约翰公司的成本为

总成本＝0.1q²＋10q＋50

其中q为约翰公司每天修剪的亩数。

a．为达到利润最大化，约翰公司将选择修剪多少亩草坪？

b．计算约翰公司每日的最大利润额。

c．用图形显示这些结果并画出约翰公司的供给曲线。

解：a．约翰公司的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得q^*＝50，且，故为实现利润最大化，约翰公司每天将选择修剪50亩草坪。

b．由a的计算结果可得，约翰公司每天的最大利润额为：

c．约翰公司的供给曲线如图11-1所示。

图11-1　约翰公司的供给曲线

2．环球小器械公司在其设在内华达州的工厂生产高质量的小器械，销往世界各地。小器械的总成本函数为：

小器械的需求地只有澳大利亚（其需求曲线为）与拉普兰（其需求曲线为）。如果该公司能够控制它在每一个市场上的供给量，为了使总利润最大化，它应该在每个地方各出售多少产品？在每个地方以什么价格出售？

解：假设该公司在澳大利亚销量为q_A，售价为P_A，在拉普兰的销量为q_L，售价为P_L。

该公司的总成本为：C＝0.25q²＝0.25（q_A＋q_L）²，，，因此可得该公司的总利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得：q_A＝30，q_L＝10。

从而可得：

总利润为：

3．一个集成计算器生产厂商的生产函数为：

其中q为完成的计算器产量，l代表劳动投入的小时数。这个厂商在计算器（售价为P）与劳动（每小时工资率为w）市场上，是一个价格接受者。

a．此厂商的总成本函数是怎样的？

b．厂商的利润函数是怎样的？

c．集成计算器的供给函数是怎样的？

d．厂商的劳动需求函数是怎样的？

e．请直观地解释这些函数的形式。

解：a．因为，q²＝4l，所以，该厂商的成本函数为：

b．该厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得供给函数为：。

从而可得利润函数为：

关于P和w是一次齐次的。

c．厂商是一个价格接受者，则有P＝MC＝2wq/4。

反解出供给函数q（p，w）＝2P/w。

d．劳动需求函数为：

e．厂商的总成本是厂商要素投入量与其要素价格乘积的总和，总成本函数一般表示成总成本与产出量的函数关系；利润函数是厂商的总收益和总成本之间的差额，一般也表示成产出量的函数关系；供给函数是利润最大化时厂商的供给能力；劳动需求函数是利润最大化时当前工资水平下厂商对劳动的需求量。

4．优质鱼子酱的市场取决于天气，如果天气很好，便会有许多人买，售价为每磅鱼子酱30美元。天气不好时，每磅只能售20美元。一周前生产的鱼子酱不能保留到下一周，一个小规模的鱼子酱生产者的成本函数为：

其中q为每周鱼子酱的产量，生产者的决策必须在知道天气情况（与鱼子酱的价格）之前做出，不过我们知道好天气与坏天气出现的概率各为0.5。

a．如果厂商希望使预期利润最大化，那么他应该生产多少鱼子酱？

b．假设此厂商有这样的效用函数：

其中π是每周的利润。则按a中所确定的产出策略，其预期效用是多少？

c．这个工厂主能通过生产不同于a与b中所得出的具体产量而获得更高的利润吗？请对此加以解释。

d．假定这个厂商能预测出下周的价格，但不能影响价格。在这种情况下，为使预期利润最大化应采取什么策略？这时的预期利润是多少？

解：a．该厂商的预期利润为：

期望利润最大化的一阶条件为：

从而可以解得q＝20，因而最大期望利润为：

b．在两种状态下，当是好天气，即P＝30时，利润为：π＝600－400＝200；

当是坏天气，即P＝20时，利润为：π＝400－400＝0；

因而预期效用为：

c．这个厂商的业主能通过生产一个不同于a和b中所得出的具体产量而获得更高的效用。当产出水平介于13和19之间时，效用会高于产量为q＝20时所获得的效用。价格P较高时产量减少所导致的利润减少可由价格较低时所增加的利润来补偿。

例如，q＝17，此时，当P＝30时，利润为：π＝510－329.5＝180.5；

当时，利润为：π＝340－329.5＝10.5；

因而预期效用为：

因而效用水平提高了。

d．如果价格可以预测，在每种状态下令P＝MC，则当P＝30时，q＝25，利润为：π＝212.5；当P＝20时，q＝15，利润为：π＝12.5。因而期望利润为：。

业主的期望效用为：

5．重型机械学校教学生如何操作建筑机器。学校每个星期能够培训的学生数量是：，其中k是学校每个星期租用的挖掘机的数量，l是学校每星期雇用的老师的数量，γ表示生产函数的规模报酬。

a．解释为什么这个利润最大化模型要求0＜γ＜1。

b．假设γ＝0.5，计算厂商的总成本和利润函数。

c．如果v＝1000，w＝500，并且p＝600，则这个学校能够服务多少学生？利润是多少？

d．如果学生愿意支付的费用上涨为p＝900，利润将如何变化？

e．画出学校对学生的供给曲线，并用图表示d部分中得出的利润的增加量。

解：a．为了使利润最大化的二阶条件得以满足，边际成本必须递增，此时要求规模报酬递减，从而利润最大化模型要求：

b．当γ＝0.5时，，从而有：

总成本函数为：

利润最大化要求，从而可得供给为：

因而利润为：

利润函数为：。

c．当v＝1000，w＝500，P＝600时，q＝20，π＝6000。

d．当v＝1000，w＝500，P＝900时，q＝30，π＝13500。

e．重型机械学校的学生供给曲线如图11-2所示，利润的变化如图中的阴影部分所示。

图11-2　重型机械学校的供给曲线

6．固定的一次总付的利润税会影响利润最大化的产量吗？如果对利润计征比例税呢？如果按每单位产出征收一定的税收，会对产量有影响吗？如果是对劳动投入征税呢？

答：假设厂商的利润为，则利润最大化的一阶条件为：

a．设一次总付性的利润税为T，在此利润税下，厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

与不征税时一样，因而固定的一次总付性的利润税不会影响利润最大化的产出。

b．在对利润征收比例税的情况下，假设征收比例为t，则利润函数变为：

一阶条件为：

因而对利润征收比例税也不会影响利润最大化的产出。

c．如果对每单位产出征税，则利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

因而产出q将发生变化，此时产品税确实影响利润最大化时的产出。

d．如果对劳动征税，则厂商的边际成本有可能发生变化，从而利润最大化的一阶条件也有可能发生变化，最终对劳动投入征税会影响企业的产出。

7．本题与一些函数的需求和边际收益曲线之间的关系有关。请证明：

a．对一条线性需求曲线，在任何价格水平上，边际收益曲线都处在纵轴与需求曲线之间的平分点上。

b．对于任一条线性需求曲线，需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离为，其中b（＜0）是需求曲线的斜率。

c．对于形式为的不变弹性的需求曲线，需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离与需求曲线的高度成一固定的比率，这一比率取决于需求的价格弹性。

d．对于任何向下倾斜的需求曲线，在任一点上需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离可以通过在该点对需求曲线的线性趋近，并应用b中所描述的步骤得到。

e．将从a到d所得的结果在图上表示出来。

解：a．假设线性需求曲线，从而可得反需求曲线为：，因而总收益为：，边际收益为：，从而有：。

因为纵轴与价格为P时需求曲线某点之间的距离为，此时纵轴与MR＝P时MR曲线上的某点之间的距离为：

由于P是任取的，因而可知对一条线性需求曲线，在任何价格水平上，边际收益曲线都处在纵轴与需求曲线之间的平分点上。

b．对于需求曲线而言，有：，而，因而有：。

c．对于不变弹性需求函数而言，其边际收益为：

其需求的价格弹性为：

因而需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离为：

从而P－MR与需求的高度（P）成正比，同时这一比例也取决于需求的价格弹性b。

d．如果e_q，P＜0（需求曲线向下倾斜），则边际收益将小于价格。从而垂直距离为：P－MR。

因为从而垂直距离为：。

又因为为需求曲线切线的斜率，所以可得需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离为：

e．以上a、b和d中所得的结论，如图11-3（a）、（b）所示：

图11-3　需求曲线与边际收益曲线之间的关系

8．你认为产出价格P的上升将如何影响对资本和劳动投入的需求？

a．用图形解释为什么当投入都不是劣质投入时，价格P的上升不必然减少对这些要素的需求。

b．证明a中的图形假设可以用柯布一道格拉斯情形下推导出的投入需求函数证明。

c．使用利润函数证明劣质投入将如何使P对投入需求的影响变得不确定。

解：a．当边际成本递增时，P的上涨会导致q的增加。为了生产额外的产出，每种投入也将相应增加（除非投入为劣等品）。

图11-4　价格上涨对产出的影响

b．在柯布—道格拉斯情况下，要素需求为：

可知，当P的提高引起q的增加时，k和l都将增加。

c．因为

所以当l是一种劣等品时，最后的偏导数的符号有可能是负的，因而P的变化对投入需求的影响是不确定的。

分析问题

9．CES生产函数

使用形式为的CES生产函数，可以通过很多的代数知识来计算利润函数：

其中

并且K是常数。

a．如果你不怕麻烦（或者你的老师不怕麻烦），请证明利润函数是这种形式的。可能最简便的方法是从例l0.2中的CES成本函数开始。

b．解释为什么只有在0＜γ＜1时，利润函数才是对厂商行为的合理表示。

c．说明替代弹性（σ）在利润函数中的作用。

d．这种情况下的供给函数是什么？当要素投入的价格变化时，替代弹性（σ）如何决定函数移动的程度？

e．推导此情况下的投入需求函数。替代弹性（σ）的大小如何影响这些函数？

解：a．厂商的利润最大化问题为：

利润最大化的一阶条件为：

从而可以解得：

因而利润函数为：

从而有：

其中。

b．为了使利润最大化存在，则利润最大化的二阶条件必须满足，即边际成本MC必须递增，从而要求规模报酬递减，从而有0＜γ＜1。

c．在此利润函数中，σ决定了厂商如何应对投入的变化，从而反映了厂商在一组给定的价格下的可得的盈利情况。

d．供给函数为：

该供给函数表明，σ不会直接影响供给弹性，但是它会影响涉及投入价格的项。较大的σ意味着在给定的投入价格下供给的较小变动。

e．由a可得，要素需求函数为：

σ对要素需求的影响取决于其值的大小，由于参数σ以及γ的大小未知，所以σ对要素需求的影响不确定。参数σ会通过影响投入价格以及产出价格项来影响要素需求，较大的σ意味着在给定的投入价格下要素投入的较小变动。

10．一些包络结果

杨氏定理可以与包络定理结合使用从而得到一些有用的结论：

a．证明：，并用替代效应和产出效应加以解释。

b．利用a中的结论解释对每单位劳动征税将如何影响资本投入。

c．证明：，并解释此结果。

d．使用c的结果讨论对于每单位劳动投入征税将如何影响供给量。

解：a．，这表明投入需求的交叉价格效应是相同的。这类似于需求理论中的补偿性的交叉价格效应的等价性。

b．对劳动征税1单位，对资本投入的影响取决于资本和劳动是替代品还是互补品。如果是替代品，则资本投入将增加；如果是互补品，则资本投入将减少。

c．，这表明工资的增加对减少产出的影响与产品价格下降对降低劳动需求的影响相同，也就是说，工资和产出价格的效应在某些情况下是对称的。

d．由于，所以有：，即对劳动投入征税会降低产出。

11．勒夏特列原理

由于厂商在长期具有很大的灵活性，他们对价格的长期反应会大于短期的反应。保罗·萨缪尔森或许是第一个发现此现象与化学中的勒夏特列原理相似的经济学家。该原理的基本观点是，任何打破平衡的因素（比如价格改变）不仅会带来直接影响，还会引起反馈效应，这个反馈效应会加剧对平衡的反应。让我们来看一些例子。考虑一个作为价格接受者的厂商通过选择要素投入以使其利润最大化，利润函数为：

我们将利润最大化时的最优解记为，，，若我们将短期的资本投入固定为，厂商的短期反应就可以记为和。

a．根据定义，。

利用这个等式，证明

证明过程分三步。首先，运用链式法则，等式两边对P求偏导。其次，再次运用链式法则，对v求导，用求得的结果替换之前的，最后，利用类似练习题10中c问的等式做替换，证出结果。

b．利用a中的结果说明，此举建立了关于供给的勒夏特列原理：长期供给对价格的反应比受限的短期供给更灵敏。

c．利用与a、b问相似的方法，证明勒夏特列原理也适用于工资对劳动需求的影响。也就是从等式：

开始，证明：

也就是工资上升造成的长期劳动需求的下降大于短期劳动需求的下降（注意，此时偏导数为负）。

d．请读者自行分析工资（w）变化对成本函数c（v，w，q）的长期和短期影响的区别。

解：a．由于，等式两边分别对求一阶导数，并结合等式得：

整理上述等式可得：

b．由于要素需求随着要素价格的增加而减少，即有：

所以有：

结合a中的结论可知：

所以说，长期供给对价格的反应比受限的短期供给对价格的反应更灵敏。

c．由于，等式两边分别对w，v求一阶导数，并结合等式

得：

由上述方程组可得：

由于要素需求随着要素价格的增加而减少，即有：

所以有：

所以有：

所以说，也就是工资上升造成的长期劳动需求的下降大于短期劳动需求的下降。

d．工资的变化对成本的影响，有

在短期内，资本固定时，工资的变化引起既定产量下和劳动需求的变化，使短期成本变化，在长期内，在既定产量下，厂商同时调整劳动需求，资本需求，使长期成本变化。

12．两种投入情况下的引致需求

对投入要素的需求最终都依赖于对要素生产出来的产品的需求。这可以用整个行业对投入的引致需求加以证明。为达到这个目的，我们假设整个行业只生产一种同质性的产品Q，规模报酬不变，并且只使用资本和劳动两种投入。根据规模报酬不变假设，P＝MC＝AC，令C（v，w，1）为厂商的单位成本函数。

a．解释为何对资本和劳动的行业总需求由和给出。

b．证明和

c．证明和

d．利用b、c的结论和替代弹性的定义

证明和

e．将d的表达式用弹性表示，证明和，其中e_q，P，是对所生产产品的需求价格弹性。

f．利用第11章中对替代效应和产出效应的表示方法，讨论e中结论的重要性。

注意：投入的引致需求弹性依赖于产出的需求价格弹性，这个观点最早是由阿尔弗雷德·马歇尔提出的。相关证明收录于D．Hamermesh，Labor Demand（Princeton，NJ：Prineeton University Press，1993）。

解：a．由谢泼德引理知，偏导数C_v给出了厂商生产一单位产出对劳动的需求量，C_w给出了厂商生产一单位产出对资本的需求量，乘以整个行业的产量则表明行业对劳动和资本的总需求。

b．根据规模报酬不变的假设，有P＝MC＝C（v，w，1），则利润最大化处的产量Q＝D（MC）＝D（C（v，w，1）），将之代入a问可得

c．因为成本函数关于w、v是一次齐次的，成本函数的一阶偏导关于w、v是零次齐次的，因此有

d．由替代弹性的定义σ＝CC_wv/C_wC_v，可得C_wv＝σC_wC_v/C，将c问中的C_vw代入，有C_vv＝（－w/v）σC_wC_v/C，C_ww＝（－v/w）σC_wC_v/C。同理将a问中的C_V、C_W和b问中的C_VV、C_WW代入，可得

e．将d中的表达式用弹性可表示为

f．和分别表示劳动和资本的替代效应，由于和sL都是大于0的，因此替代效应是负的。当两种商品或投入要素的替代性越强，则替代效应的影响越大。和分别表示劳动和资本的产出效应，若需求弹性是负的，产出效应将是正的，且要素投入的自身价格弹性也是负的。要素投入和产出的需求弹性越大，产出效应的影响越大。

13．投入需求的交叉价格效应在只有两种投入的情况下，运用练习题12的步骤可以很容易地计算出投入需求的交叉价格效应。

a．按照练习题l2中的步骤b，d，e证明

和

b．请直观地解释为何投入份额在练习题12的e中出现的形式与本题a中的形式相比，有些不同。

c．a中计算的表达式可以很容易地推广到多种投入的情形。定义

A_ij为练习题10.12中定义的Allen替代弹性。然而有一点必须提到的是，根据练习题11和12的描述，对于这种多种投入的情形，使用森岛的弹性定义更佳。对于i＝j的情况，表达式似乎表明：

如果我们匆匆得出A_lL＝σ的结论，就会与练习题12中的结论产生矛盾。而要解决这个矛盾，可运用练习题10.12中的定义，在两种投入的情况下：

由此矛盾得以解决。

解：a．根据12题b、c，有：

，

由此可知

b．在上面交叉价格弹性的式子中，不论是投入要素的替代弹性还是产出的价格需求弹性都与投入要素的份额大小有关。这是因为一种投入要素价格变化产生的影响依赖于另一种投入要素的重要程度。例如在e_K,w中，当劳动所占份额较大时，资本能替代劳动的能力更强，同理，当劳动所占份额较大时，工资增加的产出效应更大。

c．当将两种投入要素扩展到多种投入要素时，由欧拉定理有，则

两边同时乘以，同时运用谢泼德引理可得

14．利润函数和技术变化

假设一个厂商的生产函数随着时间的推移发生技术改变，此时生产函数的形式变为q＝f（k，l，t）。在这个例子中，我们将技术变化率记为

（对比第9章中的处理），证明上述变化率也可用利润函数的形式表示为

也就是说，不直接通过生产函数，技术变化可通过利润率（利润占总收入的比例）和利润随时问的增长率加以测量（价格均不发生变化）。这种测量技术变化的方法在实际投入水平的数据不存在时更受推崇。

解：厂商的利润为：

从而：

所以：

又有：

代入上式有：

15．企业产权理论这个问题需要你联系本章扩展部分一些具体的计算例子。回到GM收购费希博德的有关企业边界界定的理论问题上，究竟是仍然把它们视为单独的企业，还是把收购后的整体视为一个（更大的）企业。令所有单位产生的生产者剩余总和为，x_F和x_G为双方谈判前各自的投资数量，并且一单位投资的成本是l美元。参数a度量GM的投资的重要程度。证明根据本章扩展部分中得出的产权模型，当且仅当GM的投资足够重要，比如说，当时，GM对费希博德的收购才是有效的。

解：当两个公司是独立时，费希博德面临的选择问题为：

解得：。

GM面临的选择问题为：

解得：。

从而

当GM收购费希博德后，GM面临的选择问题为：

解得：

当GM对费希博德的收购有效时，需满足：，即

解得：。