第10章　成本函数

1．假设一厂商生产两种不同的产品，数量分别为q₁和q₂。一般地，厂商的总成本可以用C（q₁，q₂）表示。如果对于任何一种商品的所有产出水平都有

C（q₁，0）＋C（0，q₂）＞C（q₁，q₂）

则此函数表现出规模经济性。

a．用文字解释为什么这个数学式说明厂商混合生产的成本低于两个分别生产一种商品的厂商的成本？

b．如果两种产出实际上是同一种产品，我们可以将总产出定义为q＝q₁＋q₂。假设此种情况下平均成本（＝c/q）随着q的增加而降低，试说明此厂商在此条件下仍然享受规模经济性。

解：a．根据范围经济的定义，由一家厂商同时生产q₁和q₂比由两家不同的企业分别生产q₁和q₂成本更低，因为C（q₁，0）意味着一家企业仅生产q₁，C（q₂，0）意味着另一家企业仅生产q₂，而C（q₁，q₂）则意味着一家企业同时生产q₁和q₂。

b．令q＝q₁＋q₂（q₁＞0，q₂＞0）。

由假设可知：

从而有：

　①

类似的，有：

　②

加总①、②两式可得：

即该厂商也享有范围经济。

2．史密斯教授和琼斯教授将写一本新的教科书。作为真正的科学家，他们将书的生产函数设为：

q＝S^1/2J^1/2

其中q＝已完成书稿的页数，S＝史密斯花费的工作时间，J＝琼斯花费的工作时间。

史密斯将劳动价格定为每小时3美元。他花费了900小时准备初稿。琼斯的劳动价格是每小时12美元，他将把史密斯的初稿校订成书。

a．琼斯将花费多长时间校订一本l50页的书？300页的书、450页的书呢？

b．这本成书第l50页的边际成本是多少？第300页、第450页呢？

解：a．由于史密斯教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：

这样本问题就变成了求解下面三个方程：

，，

解得：

J₁＝25小时，J₂＝100小时，J₃＝225小时。

b．生产书的成本函数为：

相应的边际成本：

把q＝150，300，450分别代入边际成本的表达式得到：MC₁＝4，MC₂＝8，MC₃＝12。

3．假定厂商固定要素比例的生产函数为。

a．计算厂商的长期总成本、长期平均成本与长期边际成本函数。

b．假定K在短期内固定为10，计算厂商的短期总成本、短期平均成本与短期边际成本函数。

c．假设资本和劳动的租金是v＝1，w＝3，计算厂商长期和短期的平均成本，边际成本函数。第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？

解：a．设资本和劳动的租金分别为v、w，则厂商成本函数为C＝vk＋wl。

由厂商生产函数知，在长期有5K＝10L＝q成立，从而可解得：

C（k，l，q）＝vk＋wl＝（2v＋w）q/10

AC＝C（k，l，q）/q＝（2v＋w）/10

b．当K＝10时，有，即厂商的生产函数可表示为

因为当l＞5时，厂商会选择在5K＝10L处生产，故相应的短期总成本函数、平均成本函数和边际成本函数为

c．当v＝1，w＝3时，C＝k＋3l。

在长期内有，5K＝10L＝q。

则平均成本函数和边际成本函数分别为：

在长期内，平均成本和边际成本均为常数0.5，所以第10单位、第50单位，第100单位的边际成本均为0.5。

在短期内，同b问分析，仍有

相应的的平均成本函数和边际成本函数为

所以厂商在第10单位和第50单位的边际成本为0.3，在100单位的边际成本为。

4．一个生产曲棍球球棒的厂商的生产函数是。在短期内，厂商的资本装备数量固定为K＝100。K的租金价格为v＝1美元，L的工资率为w＝4美元。

a．计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。

b．厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球球棒，则厂商的SC，SAC与SMC是多少？如果生产50个呢？100个又会怎样？200个呢？

c．画出厂商的SAC与SMC曲线，标出b中所求得的点。

d．SMC曲线与SATC曲线在何处相交？解释为什么SMC曲线将通常交于SAC曲线的最低点。

现假定生产曲棍球棒所用的资本在短期内固定为。

e．计算该厂商的总成本，它是q，w，v和的函数。

f．在给定q，w，v下，资本存量应为多少才能使总成本最小？

g．利用你在f中的结论来计算曲棍球生产的长期总成本。

h．当w＝4美元，v＝1美元时，画出曲棍球球棒生产的长期总成本曲线。并通过考察的值等于100，200或者400时，证明其是e中计算出的短期总成本曲线的包络线。

解：a．短期内，固定投入的数量为K＝100，所以厂商的生产函数为：

所以厂商的短期总成本为：

相应的短期平均成本为：

b．短期边际成本为，由此可知，当厂商的产量分别为25个，50个，100个，200个时：

短期总成本分别为106.25元，125元，200元，500元；

短期边际成本分别为0.5，1，2，4；

期平均成本分别为4.25元，2.5元，2元，2.5元。

c．如图10-1所示。

图10-1　短期总成本和短期平均成本曲线

d．SMC与SAC相交于SAC曲线的最低处。当多生产一单位的产品的成本的增加低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位的产品的成本的增加高于平均成本时，平均成本上升。并且，在生产要素的边际报酬递减规律作用下，边际成本曲线呈先下降后上升的U型。因此，当多生产一单位的产品的成本等于平均成本时，平均成本最低。

e．在短期内，当时，，从而可以解得：。

因而厂商的总成本为：

f．，从而可以解得使总成本最小的资本存量为：。

g．由f可知，长期总成本为：

h．当w＝4，v＝1时，长期总成本为：C＝2q。

当产量为q＝100时，短期成本曲线为：

长期成本为：SC＝200＝C。

当产量为q＝200时，短期成本曲线为：

长期成本为：SC＝400＝C。

当产量为q＝400时，短期成本曲线为：

长期成本为：SC＝800＝C。

如图10-2所示。

图10-2　短期成本与长期成本曲线

5．一个有魄力的企业家收购了两个工厂来生产装饰品。每个工厂生产相同的商品，并且每个工厂的生产函数是，i＝1，2，然而，每个工厂的资本设备的数量是不同的。特别地，工厂l的k₁＝25，工厂2的k₂＝100，k和l的租金率都是w＝v＝1美元。

a．如果企业家想使短期生产装饰品的成本最小化，他将如何在两个厂商间分配产量？

b．如果在两个工厂间最优地分配产量，计算短期总成本、短期平均成本和短期边际成本。第100个装饰品的边际成本是多少？第125个呢？第200个呢？

c．企业家长期内如何在两个工厂间分配生产？计算生产装饰品的长期总成本、长期平均总成本和长期边际成本。

d．如果两个工厂都呈现出规模报酬递减，你将如何回答c中的问题？

解：a．短期内，每个工厂的固定投入的数量是确定的，所以它们的生产函数就变为：

，

于是两个工厂各自的短期成本函数为：

工厂1边际成本为；

工厂2边际成本为。

由等边际法则SMC₁（q₁）＝SMC₂（q₂），即有：2q₁/25＝q₂/50。

解得：，即产量在两个工厂之间分配的比例为1︰4。设总产量为Q，则工厂1产量为，工厂2产量为。

b．把代入成本最小化问题的预算约束中，解得q₁＝0.2q，q₂＝0.8q，把它们代入成本最小化问题的目标函数式中就得到了该企业的短期总成本函数：

短期平均成本函数为：

短期边际成本函数为：

所以，当q＝100时，SMC＝1.6；当q＝125时，SMC＝2；当q＝200时，SMC＝3.2。

c．长期内，由于两个工厂的生产函数相同，那么对于每一个单独的工厂而言，其成本最小化问题是：

利用拉格朗日乘数法解得资本和劳动力的要素需求函数为：

，

把要素需求函数代入目标函数式中得到单个工厂的长期成本函数：

这样企业的成本最小化问题就是：

易见，长期内无论在两个工厂之间如何分配产量，都不会影响企业的总成本。这是由于长期内厂商可以自由调整要素投入量，要素可在各部门之间自由流动，所以企业的长期成本函数为LTC＝2q，相应的长期边际成本和长期平均成本分别为LAC＝LMC＝2。

d．如果两个工厂的生产函数表现出规模报酬递减，那么厂商的产量分配标准是使得每个工厂生产的最后一单位产品的边际成本相同，即。特别地，由于本题假设两个工厂的生产函数相同，所以最优的产量分配方案是每个工厂生产相同的产量，即：

6．假设一个厂商的总成本函数是：

C＝qw^2/3v^1/3

a．使用谢泼德引理计算固定产出下对于投入l和k的需求函数。

b．使用你从a中得出的结果计算q的生产函数。

解：a．由谢泼德引理可知，劳动和资本的需求为：

b．从a中的方程中消去w/v可得：

即该生产函数为柯布—道格拉斯型，其中。

7．假设一个厂商的总成本函数是：

a．使用谢泼德引理计算两种投入k和l的固定产出需求函数。

b．使用a中的结果计算q的生产函数。

c．你可以用例l0.2的结果来检验这个结论，证明σ＝0.5，σ＝－1的CES成本函数可以得出此总成本函数。

解：a．由谢泼德引理可知，劳动和资本的需求为：

b．从a中的方程中消去w/v可得生产函数：

c．当σ＝0.5，σ＝－1时，CES的函数表达式为。

厂商成本最小化问题为

设定拉格朗日表达式：

成本最小化的一阶导数条件是：

将上式代入成本方程C＝wl＋vk，即可得：

8．在一篇著名的论文里（J.Viner：“Cost Curves and Supply Curves”．Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 （September 1931）：23－46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SAC曲线．并令其与U型AC线的切点也分别是每一条SAC线的最低点。绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。在这一辩论中，你将支持哪一方？

答：在这一辩论中，我会支持绘图员一方。理由如下：

假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线，其中，使得它们和U型的长期平均成本线AC分别相切于SAC线的最低点。如果切点不是AC线的最低点，那么过该点作的切线就不是一条水平的直线。同时过点作SAC线的切线，由于是SAC线的最低点，所以必定是水平的。可是SAC和AC相切却意味着切线是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。因此，如果不是AC线的最低点，那么它必然不是SAC的最低点。但是如果是AC线的最低点，那么它也是SAC的最低点。

9．CES生产函数可以推广为允许对投入进行加权。在两投入情形下，这样的生产函数为：

a．该函数所对应的总成本函数是什么？（提示：你当然可以重新求解。更为简便的方法是利用例8.2的结论，在本生产函数中，一单位资本投入的价格是v/a，一单位劳动投入的价格是w/b。）

b．如果γ＝1，a＋b＝1，可以证明，当时，该生产函数收敛于柯布—道格拉斯生产函数。对于这种特殊的CES函数，其相应的总成本函数是什么？

c．对于两投入生产函数而言，劳动的相对支出份额为wl/vk。证明：对于（2）中的柯布—道格拉斯函数而言，此份额是不变的。劳动的相对支出份额如何受到参数a和b的影响？

d．计算在上面引入的一般的CES生产函数相应的劳动支出份额。w/v的变化将如何影响该份额？替代弹性将如何影响该效应的方向？参数a和b的大小如何影响该效应的方向？

解：a．在例8.2中，令，，从而有：，。

因而生产函数可以变为：

总成本为：

因而可以将资本和劳动投入视为k′，l′，相应的价格为，。

利用例8.2中的结论可得，总成本为：

其中，。

b．当γ＝1，a＋b＝1时，生产函数为：

因而有：

对于柯布—道格拉斯函数而言，其相应的成本函数为：

c．对于柯布—道格拉斯函数而言，劳动的相对支出份额为：

因而劳动的相对支出份额不变。但是该相对支出份额受到参数a与b的影响，它与a成反比，与b成正比。

d．在一般的CES函数中，劳动的相对支出份额为：

其中，。

因为σ＞0，所以劳动的相对支出份额是b/a的增函数。如果σ＞1，则劳动的相对支出份额变化的方向与v/w变化的方向相同；如果σ＜1，则劳动的相对支出份额变化的方向与v/w变化的方向相反。这与替代性影响相对支出份额的直观相一致。

投入需求弹性

对于劳动和资本的引致需求的自身价格弹性是：

a．对例10.2中的成本函数，求和。

b．证明：一般情况下，。

c．证明：引致需求函数的交叉价格导数是相等的，即证明。利用这一结论证明，其中S_l，S_k分别是总成本中劳动的份额（wl/c）和资本的份额（vk/c）。

d．利用b、c中的结论证明：。

e．用文字解释这些不同弹性之间的关系，并讨论它们与一般投入需求理论之间的整体相关性。

解：a．对于固定比例情形，因为q保持不变，所以有：

对于柯布—道格拉斯情形:

对于CES情形，根据教材中例10.2可知：

因此则有：

b．由于成本函数关于投入的价格是一次齐次的，所以引致需求函数关于投入价格是零次齐次的。利用欧拉定理可得：

该式两端除以可得：

即：

c．利用Young定理可得：

该等式左乘，右乘可得：

可得：

d．利用b、c中的结论可得：

一般情况下，，得：

e．所有上述结论在经验研究（特别是计量经济模型中）提供了一些重要的检验依据。

意味着劳动和资本价格的微小变动不会引起劳动要素需求的增加，因为工资率w的增加导致劳动要素需求增加，而资本价格v的提高将导致劳动需求增加，这两种效应恰好抵消，从而使劳动要素需求保持不变。

意味着工资率w变化所引起的劳动和需求量变化的百分比按其各自在成本支出中所占比例加权之和为0。

11．替代弹性与投入需求弹性

（10.54）式中（森岛）替代弹性的定义可在投入需求弹性的框架下重新定义，这对基本的不对称性在定义上做了很好的说明。

a．证明如果w_j发生改变，。

b．证明如果w_i发生改变，。

c．证明如果生产函数采取CES函数的一般形式，，ρ≠0，那么所有的森岛弹性都是一样的：

这是在森岛的定义中唯一对称的情形。

解：a．若w_j发生改变，w_i不变，则有

由

可得：

b．若w_i发生改变，w_j不变，则有

由

可得：

c．若生产函数采取CES函数的一般形式，则其成本函数为

令，由谢泼德引理可得

由于

则有

12．艾伦（Alien）替代弹性

大量实证研究为要素投入间的替代弹性提出了另一种定义，这个定义最初是由艾伦（R．G．DAllen）在20世纪30年代提出来的，后由宇泽弘文（H．Uzawa）于60年代加以提纯。该定义直接建立在以生产函数为基础的替代弹性（见第9章中脚注6）上：

A_ij＝C_ijC/C_iC_j

下标表明了生产函数对不同的投入品价格的偏导数。很明显，艾伦的定义是对称的。

a．证明是投入j在总成本中所占的份额。

b．证明s_i对投入j的价格的弹性与Allen弹性有关，其关系式为。

c．证明如果只有两种投入，那么在柯布—道格拉斯的情形下，A_kl＝1，在CES的情形下，A_kl＝σ。

d．阅读Blackorby和Russell的论文（1989：Will the Real Elasticity of Substitution Please Stand Up？），思考为何森岛的弹性定义是大多数研究者的首选。

解：a．由谢泼德引理知。

因为

b．s_i对投入j的价格的弹性为

c．若只有两种投入，在柯布—道格拉斯情形下有

，

在CES情形下有

d．略。