第四节　选择、需求与显示偏好

一、名词解释

1．消费者均衡（东南大学2002、2006研）

答：消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态，其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的这样一种相对静止的状态。

基数效用论认为，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等，即，其中为货币的边际效用。

序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线簇可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足。

2．恩格尔曲线（Engle Curve）（上海大学1998研）

答：由消费者的收入提供曲线可以推导出消费者的恩格尔曲线。恩格尔曲线表明的是在商品价格和其他条件不变的情况下，消费者在每一收入水平上对某种商品的需求量之间的内在联系。德国统计学家恩格尔认为，随着收入水平的提高，不同商品的需求量呈现出不同的变化趋势，如图2-7所示。

图2-7  恩格尔曲线

图2-7（1）中，商品1是正常品，其需求量随着收入水平的上升而增加。图2-7（2）中，商品1由正常品转变为劣等品。在较低的收入水平范围，商品1的需求量与收入水平成同方向的变动；在较高的收入水平范围，商品1的需求量与收入水平成反方向的变动。

3．低档商品（上海交通大学2007研）

答：低档商品是指需求收入弹性为负的商品。因此，低档商品需求量随着收入增加而减少，随着收入减少而增加。与此对应的一个概念是正常商品，即需求收入弹性为正的商品，正常商品需求量随着收入增加而增加，随着收入减少而减少。

对于低档商品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，且在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，因而相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

低档商品的一个重要特征是商品降价的收入效应为负。商品降价使得消费者实际收入增加，再根据低档商品定义，收入增加使得低档商品需求量减少，因此低档商品降价的收入效应为负。由于商品降价的替代效应始终是正，因此低档商品的收入效应减弱了替代效应。

低档商品中有一类特殊的商品——吉芬商品。根据定义，吉芬商品降价使得吉芬商品需求量减少。由于吉芬商品降价的替代效应为正值（吉芬商品需求量增加），因此吉芬商品降价的收入效应为负，并且绝对值大于替代效应。

4．吉芬商品（上海大学2004研；厦门大学2008、2010研；中央财经大学2009研）

答：19世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象，1845年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为“吉芬难题”，并将像土豆这种需求量与价格同方向变动的商品称之为“吉芬商品”。

吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬商品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。吉芬商品的替代效应和收入效应如图2-8所示。

图2-8  吉芬物品的替代效应和收入效应

5．直接显示偏好（中央财经大学2007研）

答：显示偏好理论是保罗·萨缪尔森于1948年在《用显示性的偏好论述的消费理论》一文中提出的研究需求理论的一种方法。通过观察消费者的购买行为（如何对价格和收入的变化做出反应）推测人们的偏好。

设是消费者在收入为时按价格购买的商品束，消费者花尽所有的收入，因此有等式形式的预算约束。又设是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这意味着它满足不等式预算约束：。如果这一不等式成立，且确实是不同于的商品束，就称是

的直接显示偏好。

可以看出，显示偏好是按某种预算实际需求的消费束和按这种预算能够购买但并未购买的消费束之间的一种关系。

二、单项选择题

1．假设Smith的效用函数为，收入为36，商品的价格分别为和，则Smith的最优消费组合为（　　）。（电子科技大学2010研）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】Smith的效用函数表明两种商品是完全互补关系，所以，最优的消费决策是两种商品消费量相等，即，又因为预算约束为，所以最优消费组合为。

2．假设Smith的效用函数为，收入为24，商品的价格分别为和，则Smith的最优消费组合为（　　）。（电子科技大学2009研）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】Simth的效用函数表明两种商品是替代关系，所以，最优的消费决策是尽量多购买价格低的那种商品。本题中，比要便宜，所以Simth应全部购买，又因为预算约束为，所以最优消费组合为

。

3．已知某消费者的效用函数为，商品和的单位价格分别为1元和4元。预算约束为100，如果该消费者以最大化效用为目标，那么他应该消费的x和y的数量分别是多少？（　　）（中央财经大学2011研）

A．（20，20）

B．（50，12.5）

C．（40，15）

D．（30，15）

【答案】B

【解析】效用函数的正单调变换不改变效用函数的偏好关系。由效用函数可得：，

。根据消费者最优条件，再结合预算约束条件，可得消费者的最优选择为

，。

4．Smith的无差异曲线在A点的斜率为-1/2，。假设并且Smith收入为

，则他倾向于（　　）。（电子科技大学2009研）

A．增加商品，同时减少商品

B．增加商品，同时减少商品

C．同时增加商品和商品

D．保持原消费组合不变

【答案】B

【解析】因为，所以Smith应该减少商品的购买，增加商品的购买，以实现效用最大化。

5．假设一种物品为吉芬商品，那么，当该物品的价格上升时，应该有（　　）。（上海财经大学2009研；中山大学2010研）

A．替代效应为正值，收入效应为负值，并且前者的作用小于后者

B．替代效应为正值，收入效应为负值，并且前者的作用大于后者

C．替代效应为负值，收入效应为正值，并且前者的作用小于后者

D．替代效应为负值，收入效应为正值，并且前者的作用大于后者

【答案】C

【解析】吉芬商品是一种特殊的低档商品，作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格呈反方向变动，收入效应则与价格同方向变动。吉芬商品的特殊性在于：它的收入效应大于替代效应，从而使得总效应与价格呈同方向的变动，其需求曲线向右上方倾斜。

6．给定以下三个商品组合：

A．包括5个苹果和8个桔子；

B．包括15个苹果和6个桔子；

C．包括10个苹果和7个桔子；

如果A、B两点在同一条无差异曲线上，并且这条无差异曲线的边际替代率逐渐变小，那么，C点的效用与A、B相比（　　）。（中央财经大学2009研）

A．C优于A和B

B．A、B优于C

C．C和A、B相同

D．（A）和（B）都正确，C错误

【答案】A

【解析】A、B两点所在的同一条无差异曲线边际替代率逐渐变小，因此可知该无差异曲线是凸向原点的。根据函数凹凸性的定义，C点位于A、B点中间，C点所在的无差异曲线应在A、B点上方，因此C点的效用值应当大于A、B两点的效用值。

7．下面哪种情形不能用来解释需求曲线的移动？（　　）（上海财经大学2009研）

A．消费者的收入发生变化

B．消费者的偏好发生变化

C．市场上消费者的数量发生变化

D．该商品的价格发生变化

【答案】D

【解析】需求曲线的移动是外生变量的变化引起的，而商品价格是需求函数的内生变量，商品价格的变动只会引起均衡点沿需求曲线变化。

8．已知商品的价格为8元，商品的价格为3元。若消费者购买5个单位和3个单位，此时和的边际效用分别为20和14，那么为获得效用最大化，该消费者应该（　　）。（中山大学2006、2009研）

A．停止购买两种商品

B．增加的购买，减少的购买

C．增加的购买，减少的购买

D．同时增加对两种商品的购买

【答案】C

【解析】题中，这说明对于消费者来说，同样的一元钱购买商品所得到的边际效用小于购买商品所得到的边际效用。理性的消费者会减少对商品的购买量，增加对商品的购买量。在这样的调整过程中，消费者的总效用是增加的。当、的数量调整至时，消费者实现效用最大化。

9．国内儿童奶粉市场由国内品牌奶粉和进口品牌奶粉构成，由于近期国内品牌奶粉爆出含有三聚氰胺有毒化学成分，假设其他因素不变，由此引起的国内消费者对进口品牌奶粉的需求曲线（　　）。（中山大学2009研）

A．向左移动

B．向右移动

C．没有变化

D．不能确定

【答案】B

【解析】由于国内品牌奶粉的低质量，国内消费者会将对奶粉的需求从国内品牌奶粉部分地转移到进口品牌奶粉上。价格以外的因素导致需求增加，会使对进口品牌奶粉需求曲线向右移动，即国内消费者会购买更多的进口品牌奶粉。

10．价格为（4，12）时，张三购买的消费束是（2，9）；价格为（8，4）时，他购买的是（6，6）。张三的行为是否与显示偏好弱公理相一致？（　　）（上海财经大学2009研）

A．不是

B．是

C．这取决于他的收入

D．我们得看他在第三种情况下决策才能作出结论

【答案】A

【解析】张三的收入在价格为（4，12）时买得起（6，6）而没有买，说明（2，9）显示偏好于（6，6）；而他又在价格为（8，4）时买得起（2，9）而没有买，说明（6，6）显示偏好于（2，9），二者矛盾，所以张三的行为不符合显示偏好弱公理。

11．给定一个理性的消费者效用函数为，商品价格分别为、，如果该消费者选择了，那么该消费者可用于两种商品支出的预算收入是多少？（　　）。（上海财经大学2009研）

A．12

B．16

C．20

D．不能确定

【答案】B

【解析】由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，消费者效用最大化时花在上的钱和花在上的钱是一样的（因为），因此。所以，该消费者可用于两种商品支出的预算收入为16。

12．如果的价格是$1.50，Y的价格是$1，某个消费者购买的边际效用是30。假设该消费者的购买行为满足效用最大化，他购买的边际效用是（　　）。（中山大学2007研）

A．45

B．30

C．20

D．15

【答案】A

【解析】消费者效用最大化的条件是，故该消费者购买的边际效用为：

。

13．一个消费者将他的所有收入花费在两种商品A和B上。他购买A的价格是25，总效用为800，边际效用为12。购买B的价格是75，总效用为200，边际效用是24。为了达到消费者均衡，他应该消费（　　）。（中山大学2008研）

A．更少的B和更多的A

B．更多的B，相同数量的A

C．更多的A，相同数量的B

D．更多的B和更少的A

【答案】A

【解析】题中，这说明对于消费者来说，同样的一元钱购买商品A所得到的边际效用大于购买商品B所得到的边际效用。理性的消费者会增加对商品A的购买量，减少对商品B的购买量。在这样的调整过程中，消费者的总效用是增加的。当A、B的数量调整至时，此时消费者获得了最大的效用。

14．由于价格或收入变化导致了一个消费者的消费均衡移动。他发现，在他的新的均衡点处，边际效用总是低于原来均衡点处的相应值。这意味着（　　）。（中山大学2008研）

A．在新均衡处，他的状况变坏了

B．在新均衡处，他的状况变好了

C．如果他的收入改变了，而其他条件不变，则在新均衡处，他的状况变坏了

D．如果价格改变了，而其他条件不变，则在新均衡处，他的状况变好了

【答案】D

【解析】消费者处于均衡时的条件是即。新的均衡条件下，变小，也即乘积变小。如果其他条件不变，价格改变，那么价格需降低。价格降低，对于消费者来说，可以达到更高的效用水平，他的状况变好了。

15．如果消费者的效用为，而且商品1和商品2的价格分别为，，花费的货币总数为，那么消费者将（　　）。（上海财经大学2008研）

A．可能同时购买两种商品，而且

B．可能同时购买两种商品，而且

C．只购买商品

D．只购买商品

【答案】B

【解析】因为可得出消费者购买商品1和商品2无差异，所以消费者可能同时购买这两种商品。全部购买时，；全部购买时，。所以，商品1和商品2这两种商品的购买范围为。

16．假设消费者收入增加了20%，此时他对商品的需求只增加了10%，商品是（　　）。（上海财经大学2007研）

A．正常商品（Normal Goods）

B．低档商品（Inferior Goods）

C．吉芬商品（Giffen Goods）

D．边际产品（Marginal Goods）

【答案】A

【解析】收入增加，需求量也增加，可知该商品是正常物品。如果是低档商品，收入增加，需求量应该减少。

17．假设对于苹果和橘子，甲更喜欢苹果，乙更喜欢橘子，水果的价格对两人相同，在效用最大化时（　　）。（中山大学2006研）

A．甲的苹果对橘子的边际替代率大于乙的

B．甲将消费比他拥有的更多的橘子

C．两人的边际替代率相等

D．只有B和C正确

【答案】C

【解析】当效用最大化时，。由于水果的价格对两人相同，所以两人的边际替代率相同。

18．商品和的价格都是1元。某人用20元钱，正考虑挑选10单位的和10单位的。如果他有较好的凸性偏好，两种商品对他而言都是多多益善。在图上，把他消费的的数量画在横轴（轴）上，的数量画在纵轴（轴）上。当通过商品束（10，10）的无差异曲线的斜率为-2时，我们可以推断：（　　）。（中山大学2004研）

A．（10，10）是他能买得起的最优选择

B．他不大喜欢其中之一

C．他的效用会更大一些，如果他多消费一些，少消费一些

D．他的效用会更大一些，如果他多消费一些，少消费一些

【答案】D

【解析】ACD三项，题中，即，所以，商品束（10，10）不是消费者的最优选择（虽然消费者能够选择该商品束），故为了获得更大的效用，消费者应多消费一些，少消费一些；B项，两种商品对消费者而言都是多多益善，即消费者两个物品都喜欢。

19．下列哪项陈述正确？（　　）（上海财经大学2004研）

A．所有的低档品都是吉芬商品，所有的吉芬商品都是低档品

B．所有的低档品都是吉芬商品，但不是所有的吉芬商品都是低档品

C．所有的吉芬商品都是低档品，但不是所有的低档品都是吉芬商品

D．上述说法都不正确，因为在低档品和吉芬商品之间没有确定的关系

【答案】C

【解析】低档商品的替代效应与价格呈反方向变动，收入效应与价格呈同方向变动。吉芬商品是一种特殊的低档商品，吉芬商品收入效应很大，以致于超过了替代效应的作用，从而使总效应与价格同方向变动，价格上涨，消费者对吉芬商品的需求反而上升。吉芬商品一定是低档商品，但是低档商品不一定是吉芬商品。

20．对于向上倾斜的需求曲线而言，（　　）。（上海财经大学2004研）

A．收入效应肯定大于替代效应，且商品肯定是正常商品

B．收入效应的大小肯定和替代效应的大小相同

C．商品肯定是低档品（Inferior Good），并且收入效应肯定比替代效应大

D．以上都不对

【答案】C

【解析】向上倾斜的需求曲线表明随着价格的上升，人们对该商品的需求会增加，这说明替代效应和收入效应相加的总效应与价格是同方向变动的。任何商品的替代效应都与价格反方向变动，说明此商品的收入效应与价格同方向变动，是低档品，并且收入效应的作用大于替代效应。

21．假设资本财产是劳动的完全替代品，资本财产价格下跌，则可以断言（ 　 ）。（上海财经大学2004研）

A．替代效应会降低对劳动力的需求

B．对劳动力的需求必然会降低

C．对劳动力的需求必然增加

D．对资本财产的需求降低

【答案】A

【解析】替代效应是指由于商品价格的变动所引起的商品的相对价格的变动，进而由商品相对价格的变动引起的商品需求量的变动。资本财产和劳动是完全替代品，资本财产的价格下降使得资本财产更加便宜、劳动相对更加昂贵，因此，在替代效应的作用下会降低对劳动力的需求。

22．如果A商品价格上升引起B商品的需求曲线向左下方移动，那么（　　）。（中山大学2002研）

A．A和B是替代品

B．A和B是互补品

C．A为正常品B为次等品

D．A为次等品B为正常品

【答案】B

【解析】A商品价格上升引起B商品的需求曲线向左下方移动，表明A商品价格的上升导致B商品需求量的减少。一种商品的价格与另一种商品的需求量之间成反方向的变动，说明这两种商品之间存在着互补关系。

23．假设消费者的选择行为可由一组观察值表示，其中是时期的价格向量，是时期的消费计划。而且消费者在时期1、2和3的价格和消费计划组合分别为，；，和，。那么（　　）。（上海财经大学2008研）

A．该消费者的偏好是理性的

B．该消费者的选择行为满足显示性偏好强公理

C．该消费者的选择行为满足显示性偏好弱公理而且其偏好是理性的

D．该消费者的选择行为满足显示性偏好弱公理但其偏好不是理性的

【答案】D

【解析】分析如下：

从（1）可看出，消费束偏好于，从（2）可看出，消费束偏好于，从（3）可看出，消费束偏好于，都满足显示偏好弱公理，但是根据偏好传递性由（2）（3）有，即，与（1）矛盾，并不满足显示偏好强公理，所以其偏好不是理性的。

24．某消费者在价格为（7，4）时选择消费束为（6，6）；在价格为（5，5）时选择消费束为（9，0），那么我们可以推断（　　）。（中央财经大学2012研）

A．消费束（6，6）被显示偏好于（9，0），但是没有证据表明她违反了WARP

B．没有哪个消费束被显示偏好于另一个消费束

C．该消费者违反了显示偏好弱公理（WARP）

D．消费束（9，0）被显示偏好于（6，6），并且她违反了显示偏好弱公理（WARP）

【答案】A

【解析】显示偏好弱公理（WARP）用文字表述为：如果在购买消费束时，有能力购买消费束，那么在购买消费束时，就一定是无力购买的消费束。

当价格为（7，4）时，消费者选择了（6，6），此时的花费为，在此价格下，消费者若选择（9，0）需要的花费为，，这表明消费者在能选择（9，0）的情况下选择了（6，6），因此消费者相对更偏好（6，6）这个消费束；当价格变为（5，5）时，消费者选择了（9，0），原因在于此时消费不起（6，6）这个更好的消费束。因此，该消费者没有违反WARP。

25．市场需求曲线通常是（　　）。（上海财经大学2002研）

A．市场上最大购买者需求曲线之和

B．政府对某种商品的需求

C．与横轴平行的曲线

D．市场上所有个人需求曲线之和

【答案】D

【解析】市场需求曲线通常是市场上所有消费者对于某种商品的个人需求曲线的水平加总。但是，公共物品的市场需求曲线是所有个人需求曲线的垂直相加。

三、简答题

1．如果预算线给定，一条无差异曲线与其相切，试证明切点的坐标为最优商品组合，切点为消费者均衡点。（上海财经大学2003研）

证明：假设消费者的偏好是性状良好的，并且无差异曲线严格凸。如图2-9所示，因为偏好是性状良好的，所以多总比少更受到偏好，因此，离原点越远，消费者效用水平越高。要使消费者的效用最大化，只需把注意力集中于预算线上的消费束，而不考虑预算线以下的消费束。

图2-9  最优选择

从预算线的右下角开始向左移动，预算线相交于越来越高的无差异曲线，当达到刚好与预算线相切的最高的无差异曲线时，将相切处的消费束标记为。就是消费者的最优选择，因为与相比，他更偏好的消费束集（无差异曲线上的消费束集）并不和他能够负担的消费束相交，即更高效用水平的无差异曲线并不和预算线有交点；并且，如果无差异曲线与预算线不相切，那它就会穿过预算线，那么在预算线上就会有某个邻近的点处在无差异曲线的上方，这时的交点尚未处在最优消费束上。因此，只有切点处的消费束才是消费者能够负担的最优消费束。

2．张三与李四在同一家便利店购买牛奶和豆浆。他们对于牛奶和豆浆的偏好不同，收入也不同。他们两种商品都购买，但购买的两种商品的数量不同。对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率有什么关系？作图表示他们的预算约束线和无差异曲线，并解释你的结论。（中山大学2008研）

答：（1）牛奶和豆浆的边际替代率相等。

在同一家便利店里，张三和李四购买的牛奶和豆浆的价格分别都是相同的。设牛奶的价格为，豆浆的价格为，A代表张三，B代表李四。当达到均衡时，即消费者实现最优选择时，边际替代率必定等于交换比率，即有：

即对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率相等。

（2）由于两人购买的牛奶和豆浆的价格分别都是相同的，所以两人预算线的斜率是一样的，由于收入不同，所以预算线离原点的距离远近不同，张三和李四的预算线及无差异曲线具体如图2-10所示。预算线AB平行于CD。张三的预算线AB与他的无差异曲线切于点，两种商品的购买量分别为和；李四的预算线CD与他的无差异曲线切于点，两种商品的购买量分别为和。

图2-10  张三和李四的预算约束线和无差异曲线

3．一个消费者被观察到当她面临价格，时，购买量为，。另一次，当，，她的购买量为，。请问她的行为符合显示性偏好的弱公理吗？请给出解释。（中山大学2008研）

答：她的行为符合显示偏好弱公理。

显示偏好弱公理是指如果被直接显示偏好于，且和不同，那么，就不可能被直接显示偏好于。换言之，假定一个消费束是按价格购买的，另一个消费束

是按照购买的，那么只要，就不可能再有。

本题中，，即在价格为（2，6）时，该消费者有能力购买（18，4）这个消费束，却选择（20，10）这个消费束，说明（20，10）比（18，4）更受消费者的喜欢。当价格为（3，5）时，她选择了（18，4），而，说明此时消费者无力购买（20，10）这个消费束，所以她的行为符合显示偏好弱公理。

4．当价格是，消费者需求是；当价格是，消费者需求是

；当价格是，消费者需求是。这种行为同显示偏好强公理相一致吗？为什么？（中央财经大学2008研）

答：这种行为同显示偏好强公理不相一致。分析如下：

显示偏好强公理是指：如果被直接或间接显示偏好于，且与不同，则不可能被直接或间接显示偏好于。

根据，利用题中给定的数据，可得：

当商品价格，该消费者的收入为36时，他会选择的消费组合，说明，对该消费者而言，对消费组合（6，6）的偏好大于（7，4）和（7，3）的偏好。

根据，利用题中给定的数据，可得：

按照之前的结论，在该消费者可以负担的情况下，他对（6，6）的偏好大于对（7，3）的偏好。因此，根据显示偏好公理，当商品价格，消费者收入为38时，他仍会选择商品组合。这与题中所说，当商品价格变成时，消费者选择这一结论不符，所以题中所述不满足显示偏好强公理。

四、计算题

1．假定消费者的收入为，他要消费两种商品1和2，其价格分别为和。这个消费者的效用函数为

，其中和分别为这两种商品的消费量，请计算消费者的消费决策。（中山大学2012研）

解：由效用函数得，，边际替代率，可见随着的增加边际替代率的绝对值是增加的，所以不能根据消费者均衡条件去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得。

可计算得出，当消费者把所有的收入都用于购买商品1时，效用为，当消费者把所有的收入都用于购买商品2时，效用为。因此，当时，消费者把所有的收入都用于购买商品1；当时，消费者把所有的收入都用于购买商品2；当时，消费者既可选择把所有的收入都用于购买商品1，也可以选择把所有的收入都用于购买商品2。

2．某人仅消费和两种商品，其效用函数为：，其收入。

（1）推导出此人对的需求函数。

（2）如果，此人将消费多少？（上海交通大学2005研）

解：（1）设商品的价格为，则预算线方程为：。

构造拉格朗日辅助函数。

效用最大化的一阶条件为：

解得：最优选择为。

即此人对的需求函数为。

（2）如果，代入此人对的需求函数，简化得：。结合预算线方程

，求得此人将消费42单位。

3．某人的效用函数为。已知两个商品的价格，收入。

（1）在此价格收入条件下，他的最优消费组合是什么？

（2）用图表示（1）中的最优消费组合，并在同一张图上画出当商品1的价格变动（收入和商品2的价格不变）时，最优消费决策点的轨迹。

（3）如果政府对第2种商品征单位产品消费税，从而使。这时他的最优消费组合是什么？

（4）如果效用函数变为，且价格和收入保持不变，即，。此时消费者的最优消费决策是什么？（中山大学2003研）

解：（1）根据题意，可得出预算线方程为：。

构造拉格朗日辅助函数。

效用最大化的一阶条件为：

解得：最优选择为（10，10）。

即在此价格收入条件下，他的最优消费组合为（10，10）。

（2）如图2-11所示，为初始预算线，点所对应的消费组合即为最优消费组合。当商品1的价格变动（收入和商品2的价格不变）时，预算线将沿着初始预算线上的A点转动。当商品1的价格上升时，预算线变得更加陡峭，如图2-11预算线所示；当商品1的价格下降时，预算线变得更加平坦，如图2-11预算线所示。于是，形成了三个不同价格水平下的消费者效用最大化的均衡点、和。如果价格水平的变化是连续的，则可以得到无数个这样的均衡点的轨迹，这便是对应的最优消费决策点的轨迹。

图2-11  最优消费组合

（3）当时，则相应的预算线方程变为。同样的方法，可构造拉格朗日辅助函数

，求解可得最优消费组合为（10，5），即消费者消费10单位商品，消费5单位商品。

（4）当效用函数变为时，同样的方法，可构造拉格朗日辅助函数

，求解可得最优消费组合为（0.5，19.5），即消费者消费0.5单位商品，消费19.5单位商品。

4．设一个消费者使用两种商品，效用函数为，商品价格元，元。

（1）设他的收入为40元，求消费者均衡；

（2）求恩格尔曲线。（华中科技大学2002研）

解：（1）当达到消费者均衡时，有：。

即：。

得：　 ①

另可得预算线方程为：　 ②

联立①②式可得：。

即达到消费者均衡时，消费者消费商品数量为6个单位，消费商品数量为10/3个单位。

（2）假设消费者收入为，则消费者均衡时，，即，又根据预算约束线，有，联合可得：。

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量，因此商品的恩格尔函数为，相应的商品的恩格尔曲线为一条向右上方延伸的直线；商品的恩格尔函数为，相应的商品的恩格尔曲线也为一条向右上方延伸的直线。

5．如果效用函数为柯布-道格拉斯型：。要求：计算对于任意价格与收入，使效用最大化的和的消费量。（上海大学2004研）

解：由效用函数可得出相应的边际效用函数，即有：

，

根据效用最大化原则，则有，求得：。

代入预算线方程：，求得使效用最大化的的消费量：，的消费量：。

6．在一个竞争性的市场上，一个消费者消费两种商品，她的效用函数和面临的预算约束分别是

和。

（1）求该消费者的最优需求，假定她是一个效用最大化的消费者。

（2）解释在求解（1）时用到的拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）的经济学意义。（中山大学2008研）

解：（1）构造拉格朗日函数为。

效用最大化的一阶条件为：

解得：。

即假定消费者是一个效用最大化的消费者，则该消费者的最优选择是（20，10）。

（2）从经济学的角度来看，拉格朗日乘子代表当约束条件变动时，目标函数极值的变化。拉格朗日乘子就是效用函数在最优解处对收入的偏导数，也就是在最优解处增加一个单位收入带来的效用增加，或者说在最优解处由效用衡量收入的价值，称之为收入的边际效用。

拉格朗日乘子在经济学中被解释为影子价格，在这里为收入的边际效用。

7．设一消费者的效用函数为，其中。求消费者对商品1的需求作为消费者的收入和两种商品价格的函数。（分别为商品1、2的数量和价格，收入为）（华中科技大学2007研）

解：由消费者效用函数可得出相应的边际效用，即。

根据消费者效用最大化条件：即有：　  ①

根据预算约束有：　  ②

联立①②两式可解得消费者对商品1的需求为：

8．假设一个消费者的收入为，该消费者把他的全部收入都用于商品和商品的消费，商品的价格为，商品的价格为，该消费者的效用函数为，其中。请说明该消费者的最优消费决策点，并在图上画出该消费者的收入消费曲线和恩格尔曲线。（中山大学2005、2012研）

解：（1）根据题意，可得出预算线方程为：。

构造拉格朗日辅助函数。

效用最大化的一阶条件为：

解得最优选择为：。

（2）消费者的收入消费曲线

消费者的收入消费曲线是在消费者的偏好和商品的价格不变的条件下，与消费者的不同收入水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。根据消费者的最优选择，可得出消费者的收入消费曲线是一条经过原点的直线，如图2-12所示。

图2-12  消费者的收入消费曲线

（3）恩格尔曲线

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平下对某商品的需求量。由消费者的收入消费曲线可以推导出消费者的恩格尔曲线，如图2-13所示。可计算得出，对于柯布-道格拉斯需求函数，商品和的恩格尔曲线是一条直线。

图2-13  商品和商品的恩格尔曲线

9．老王每月收入120元，全部用来购买商品和。他的效用函数为，的价格是2元，的价格是3元。试求：

（1）为使老王的效用最大化，他购买的和各为多少？

（2）他获得的总效用是多少？每单位货币的边际效用是多少？

（3）假设的价格提高0.44，的价格不变，为使老王获得的效用水平不变，他的收入应该增加多少？（上海交通大学2004、2006研）

解：（1）预算线方程为。

构造拉格朗日辅助函数。

效用最大化的一阶条件为：

解得：。

即为使老王的效用最大化，他应购买30单位商品，20单位商品。

（2）他获得的总效用。

每单位货币的边际效用为：。

（3）假设的价格提高0.44，则。

根据消费者效用最大化条件，可得，联合效用函数，可得。

故收入。

则老王的收入应该增加：（元）。

10．我们用和表示消费者对商品和的消费数量，现给定消费者的效用函数为，两种商品的价格分别为和，消费者的收入为，求解下列问题：

（1）消费者将把收入的多大比例分别用于消费和？

（2）求出消费者对和的需求函数；

（3）消费者均衡时，两种商品的需求价格弹性是多少？（北京大学光华管理学院2010研）

解：（1）消费者面临的问题是：

消费者效用最大时：，即。

所以。

收入用于商品的比例为：；

收入用于商品的比例为：。

即消费者将把收入的用于消费，收入的用于消费。

（2）两商品各自的需求函数为：。

（3）商品的需求价格弹性为：

商品的需求价格弹性为：