§3　二次曲面

在前面两节中，我们对几何特征很明显的球面、旋转面、柱面、锥面建立了它们的方程.本节则对于比较简单的二次方程，从方程出发去研究图形的性质.

我们已经知道，二次方程

分别表示椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面，而二次方程

则表示二次锥面.现在再研究几个二次方程表示的图形.

3.1　椭球面

方程

表示的曲面称为椭球面.它有下述性质：

（1）对称性.因为方程（3.1）中用-x代x，方程不变，于是若点P（x,y，z）T在椭球面（3.1）上，则点P关于Oyz平面的对称点（-x,y，z）T也在此椭球面上，所以此椭球面关于Oyz平面对称.同理，由于方程（3.1）中用-y代y（-z代z）方程不变，所以此椭球面关于Ozx平面（Oxy平面）对称.因为方程（3.1）中同时用-x代x，用-y代y，方程不变，所以图形关于z轴对称.由类似的理由知，图形关于y轴，x轴也对称.因为方程（3.1）中同时用-x代x，-y代y，-z代z，方程不变，所以图形关于原点对称.总而言之，三个坐标面都是椭球面（3.1）的对称平面，三根坐标轴都是它的对称轴，原点是它的对称中心.

（2）范围.由方程（3.1）立即看出

|x|≤a，|y|≤b，|z|≤c.

（3）形状.曲面（3.1）与Oxy平面的交线为

这是在Oxy平面上的一个椭圆.同理可知，曲面（3.1）与Oyz平面（Oxz平面）的交线也是椭圆.椭球面的图形如图3.14所示.

用平行于Oxy平面的平面z=h截曲面（3.1）得到的交线（称为截口）为

当|h|＜c时，截口是椭圆；当|h|=c时，截口是一个点；当|h|＞c时，无轨迹.

（4）等高线.把平行于Oxy平面的截口投影到Oxy平面上得到的投影线称为等高线（如图3.15）.

3.2　单叶双曲面和双叶双曲面

方程

表示的曲面称为单叶双曲面.它有下述性质：

（1）对称性.三个坐标面都是此图形的对称平面，三根坐标轴都是它的对称轴，原点是它的对称中心.

（2）范围.由方程（3.2）得

所以此曲面的点全在柱面

的外部或柱面上.

（3）形状.此曲面与Oxy平面的交线为

这是一个椭圆，称为此曲面的腰椭圆.

此曲面与Oxz平面，Oyz平面的交线分别为

它们都是双曲线.

此曲面的平行于Oxy平面的截口为

这是一个椭圆，并且当h增大时，截口椭圆的长、短半轴

均增大.单叶双曲面的图形如图3.16所示.

（4）渐近锥面.锥面

称为单叶双曲面（3.2）的渐近锥面.

用平面z=h截此锥面，截口为椭圆

这个椭圆的长、短半轴分别为

因为

所以同理，这说明，当|h|无限增大时，单叶双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即单叶双曲面与它的渐近锥面无限地任意接近.方程

表示的图形称为双叶双曲面.它有下述性质：

（1）对称性.关于坐标面、坐标轴、原点均对称.

（2）范围.由方程（3.4）得z≥c.

（3）形状.此曲面与Oxy平面无交点，与Ozx平面，Oyz平面的

交线分别为

它们都是双曲线.用平面z=h（h≥c）去截此曲面得到的截口为

这是一个椭圆或一个点.双叶双曲面的图形如图3.17所示.

（4）渐近锥面.锥面

也是双叶双曲面（3.4）的渐近锥面.

3.3　椭圆抛物面和双曲抛物面

方程

表示的曲面称为椭圆抛物面.它有下述性质：

（1）Ozx平面，Oyz平面是它的对称平面；z轴是它的对称轴.

（2）范围.由方程（3.5）得z≥0.

（3）形状.它与Ozx平面，Oyz平面的交线分别为

它们都是抛物线.用平面z=h（h≥0）去截此曲面得到的截口为

它是一个椭圆或一个点.椭圆抛物面的图形如图3.18所示.

方程

表示的曲面称为双曲抛物面（或马鞍面）.

Ozx平面和Oyz平面都是双曲抛物面（3.6）的对称平面，z轴是它的对称轴.

双曲抛物面（3.6）与Oxy平面的交线为

这是一对相交直线（经过原点）.双曲抛物面（3.6）与Ozx平面，Oyz平面的交线分别为

它们都是抛物线.用平面z=h（h≠0）去截此曲面，得到的截口为

这是双曲线，当h＞0时，实轴平行于x轴；当h＜0时，实轴平行于y轴（如图3.19）.

当平行移动抛物线使它的顶点沿抛物线移动时，

便得到马鞍面（3.6）.这是因为，点M（x,y，z）T在此轨迹上的充分必要条件是，M在以抛物线

上的一个点M0（x0，y0，z0）T为顶点且轴平行于z轴，形状、开口与

一样的抛物线上，即有

消去x0，y0，z0，得到

即

3.4　二次曲面的种类

到目前为止，我们学过的二次曲面有以下17种：

一、椭球面

（1）椭球面：

（2）虚椭球面：

（3）点：

二、双曲面

（4）单叶双曲面：

（5）双叶双曲面：

三、抛物面

（6）椭圆抛物面：

（7）双曲抛物面：

四、二次锥面

（8）二次锥面：

五、二次柱面

（9）椭圆柱面：

（10）虚椭圆柱面：

（11）直线：

（12）双曲柱面：

（13）一对相交平面：

（14）抛物柱面：

x2=2py；

（15）一对平行平面：x2=a2；

（16）一对虚平行平面：x2=-a2；

（17）一对重合平面：x2=0.

我们可以证明二次曲面只有这17种，证明可参看《高等代数》（丘维声著，科学出版社，2013年）第506～509页.

习题　3.3

1.已知椭球面的对称轴与坐标轴重合，且经过椭圆

以及点M（1，2，√23）T，求这个椭球面的方程.

2.已知椭圆抛物面的顶点为原点，对称平面为Ozx平面和Oyz平面，且经过点（1，2，5）T和1，求这个椭圆抛物面的方程.

3.已知马鞍面的鞍点为原点，对称平面为Ozx平面和Oyz平面，且经过点（1，2，0）T和T

，求这个马鞍面的方程.

4.求经过两条抛物线

的二次曲面的方程.

5.给定方程

问：当k取异于a2，b2，c2的各种实数值时，它表示怎样的曲面？

6.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：

（1）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；

（2）到一定点和一定平面（定点不在定平面上）距离之比等于常数的点的轨迹；

（3）设有一个固定平面和垂直于它的一条定直线，求到定平面与到定直线的距离相等的点的轨迹；

（4）求与两给定直线等距离的点的轨迹，已知两直线的距离为a，夹角为α.

7.设一个定点与一条二次曲线不在同一平面上，证明：以定点为顶点，这条二次曲线为准线的锥面是二次曲面.

*8.由椭球面

的中心O任意引三条相互垂直的射线，与椭球面分别交于P1，P2，

P3，设证明：

*9.证明用经过坐标轴的平面和椭球面

相截时，有且仅有两条截口曲线是圆，并说明这两张截面的位置.