3.3 伪球的偏微分和伪球边缘检测算子

3.3.1 伪球滤波器的偏微分

式（3-26）所示伪球滤波器PSF（x,y）处处一阶可导（导函数见图3-5b、c），利用式（3-18）和式（3-25）将式（3-26）展开，可得：

式中，为归一化常数。

① 0≤x²+y²≤ε²时

② ε²≤x²≤σ²时，为简化表达，令

则：

于是伪球的一阶偏微分为：

将式（3-34）和式（3-35）带入式（3-36）：

由式（3-32）和式（3-33）可得：

将式（3-38）带入式（3-37）：

③ x²+y²＞σ²时

综合①②③，可得:

式中，。

同理，可得：

式中，

同构造其他边缘检测器的方法类似，我们只要对式（3-41）和式（3-42）进行抽样即可获得两个方向上的边缘检测模板：

式中，i,j=1,2，…，2N+1，式（3-43）和式（3-44）称为X、Y方向上的伪球边缘检测器。

3.3.2 基于伪球的边缘检测算子

经典的Canny算子^［10］主要由四个步骤组成：首先用高斯滤波器平滑图像；接着用高斯一阶偏导的有限差分来计算梯度的幅值和方向；然后对梯度幅值进行非极大值抑制（NMS）；最后用双阈值算法检测和连接边缘。为提高算法的边缘保持性能（定位精度），我们分别用伪球滤波器和伪球边缘检测器代替高斯滤波器和高斯边缘检测器，即先用模板PSF_ij（式（3-28））对图像进行平滑，接着用两个伪球边缘检测算子模板PSX_ij、PSY_ij （式（3-43）、式（3-44））计算梯度的幅值和方向，然后进行非极大值抑制、双阈值检测和连接，形成了基于伪球的边缘检测算子。

3.3.3 模拟图像实验

定量比较边缘检测算子的性能，文献中已经提出了许多方法。本节参考Nguyen^［27］提出的方法，侧重比较算法的平滑性能和定位精度。Nguyen共定义了六种误差来定量衡量算法的性能。为了方便比较，参考Nguyen的定义，这里定义滤波误差和定位误差来分别衡量算法的平滑性和定位精度。以下定义中像素支撑区域是指沿垂直于理想边缘方向，边缘像素两边的一定大小的区域（如图3-7a 中较暗部分所示），支撑区域内检测出的边缘像素称为有效边缘像素，反之则为无效边缘像素。

1.滤波误差

滤波误差主要由边缘冗余（像素的支撑区域内检测出多个边缘点，如图3-7b 所示）和噪音冗余（支撑区域外存在假边缘，如图3-7c所示）两种情况造成。图像的滤波误差定义为边缘冗余像素与噪音冗余像素的总数与理想边缘像素总数的比值。

2.定位误差

定位误差主要由边缘像素丢失（在像素的支撑区域内没有检测出边缘点，如图3-7d所示）和边缘像素错位（检测出的像素位置与理想位置有偏差，如图3-7e 所示）两种情况造成。像素丢失时该像素的误差定义为支撑区域的半径，像素错位时该像素的误差定义为像素检测位置与理想位置的距离。图像的定位误差定义为各像素误差的总和与理想边缘像素总数的比值。

3.实验图像

我们采用Nguyen所设计的合成图像，如图3-8a所示为原始图像，图3-8b为加入均值为0方差为0.1的高斯噪声后的图像（图像的像素取值范围归一化为［0，1］），图像大小为256×256。图中从左到右在40，80，160，200，240处分别有5个不同类型边缘、依次分别为阶跃型边缘、台阶型边缘、倒台阶型边缘、脉冲型边缘和倒脉冲型边缘（具体见文献［73］）。其中，阶跃型边缘根据下式产生:

式中，LoC_edge控制边缘的位置； μ控制边缘的陡峭程度； c控制边缘的高度。台阶型边缘和脉冲型边缘由两个阶跃型边缘获得： I（x，y）+aI（x-Δ，y）， a＞0时表示台阶型边缘，a＜0时表示脉冲型边缘。

4.试验结果

图3-9为实验结果比较。图3-9a、b分别表示滤波误差和定位误差。其中，纵轴坐标表示误差，横轴坐标表示σ依次增大的10个采样点的标号，对于经典Canny算子，对应σ分别取1.0，1.2，1.4，…，2.8，对于基于伪球的边缘检测算子，对应σ分别取3.0，3.6，4.2，…，8.4。四条曲线分别对应经典Canny算子（CC）的结果和ε=10^-1,10^-2,10^-3时基于伪球的边缘检测算子（PsC）的结果。显然，随着边缘保持参数ε的减小，基于伪球的边缘检测算子的定位精度有所提高，但平滑噪声的能力有所下降。在噪声误差相当的情况下（横轴坐标大于6时），基于伪球的边缘检测算子的定位精度明显优于经典的Canny算子。

3.3.4 真实图像实验

如图3-10a所示为一幅教堂图像，图3-10b~d为分别用基于伪球的边缘检测算子、等高高斯Canny算子（高斯函数的尺度被选择为使其中，心和伪球的中心高度相等）、等宽高斯Canny算子（高斯函数的尺度被选择为伪球的尺度参数的1/3）对其进行边缘检测的结果。其中，σ_p=3.0，ε=0.1，模板大小为15×15。

显然，基于伪球的边缘检测算子 （见图3-10b）和等宽高斯Canny算子 （见图3-10d ）在平滑微小细节方面的表现相当，而等高高斯 Canny算子 （见图3-10c）对微小细节的平滑效果较差。为比较三者的定位精度，我们将图3-10中拐角处 （每幅图中的六个红色方框）的细节分别放大 （见图3-11）。可以看出，图3-10b、c（基于伪球的边缘检测算子和等高高斯Canny算子）的定位精度相当并且高于图3-10d （等宽高斯Canny算子）的定位精度。实验结果表明基于伪球的边缘检测算子在平滑噪声和定位精度两方面能够同时取得更好的效果。

图3-12为其他四组实验结果比较，其中，图3-12a、d、g、j为原始图像，图3-12b、e、h、k为经典高斯Canny算子的检测结果，图3-12c、f、i、l为基于伪球边缘检测算子的检测结果（通过调节其尺度参数和边缘保持参数使其检测结果在平滑性方面的表现和经典Canny算子相当）。可以看出，图3-12c、f、i、l分别相对于图3-12b、e、h、k在边缘的保持上效果更好。