延展阅读

（本章延展阅读和第三章、第十章的延展阅读对应性较强，有兴趣的读者可对照参阅）

亚当·斯密在他的巨著《国富论》中说：“没有工匠的帮助，农耕之事，即令不致停顿，亦必大感不便，而时作时辍。锻工、木匠、轮匠、犁匠、泥水匠、砖匠、皮革匠、鞋匠、缝匠的职务，常为农家所不可缺少。这类工匠，一方面因为要互相帮助；另一方面又因为不必要像农家那样有固定地址，所以，自然比邻而居一地，结果就形成了小城镇小村落。后来，又有屠户、酒家、饼师，以及许多其他就供给临时需要他们的必要而有用的手工匠及零售商人加入，城镇才日益增大起来。结果，乡民市民，遂互相服役。乡民因要以原生产物交换制造品，继续视市镇为市场。然亦就依着这种交换，都市居民才取得了工作资料和生活资料的供给。他们售给乡村居民的熟货量，支配他们所购得的材料及食料的数量。他们的材料及食料的增加，只能按比例于乡民对熟货的需要的增进。但这种需要的增进，又只能按照比例于耕作及改良事业的进展。假若人为制度不扰乱自然倾向，那就无论在什么政治社会，都市的富益与发达，都是乡村改良事业进步的结果，且需按比例于乡村耕作改良事业的进步。”

这里，我们在欣赏城镇化与所涉及的产业相互协调发展的同时，应该看到，取得农业剩余的农民在给城镇居民供给工作资料和生活资料以后，城镇居民又供给农业剩余农民需要的成品量（熟食量），这样就使得社会的总财富极大地增加，当然这些都是在帕累托最优的条件下进行的。

事实上，如果用两种等量价值的不同产品，来确定市场上交换双方彼此愿意进行的交换，按照现代经济学原理，一般应放进“埃奇沃斯盒”里进行分析才最为有效。假设这两个商品的市场价值为1，那么交换双方在市场上一般都不会认为自己的产品价值就等于1，否则他们就不会进行市场博弈而最终达到帕累托最优。当交换双方都感觉到对方产品对他自己的效用价值要大于自己产品的价值时，交换才得以发生，这也是市场配置资源的基本依据。根据我们已给的交换条件，即在市场竞争均衡的条件下，这两个交换者的无差异曲线的切点恰好在埃奇沃斯盒的中心。图1就是在这个中心交换形成的示意图。可见，价值是有大小有方向的矢量，所以买卖双方彼此交换的满足，在市场中是一个合矢量的价值体现。这样，彼此交换着的产品价值实际上就是这个合矢量价值的两个分量，它们之间的关系恰好构成了一个正方形的两条邻边和对角线的关系。

这里，读者会问为什么不先确定两个交换者的产品价值而先确定已具备交换条件的等价价值呢？这就是市场决定资源配置的原因。两个交换者的产品的价值确定明显地带有主观性的因素，而已具备交换条件的等价产品的价值才是由市场决定、具有客观性的价值。如市场决定了这两个产品的交换价值为1个单位，那么具有两个产品交换资格的交换者，他们的产品在自己心目中才只有70.7%的财富形成的可能性，因为最终还要看产品能否在市场上被交换出去，如果产品在市场上不能被交换出去，那么他的产品就是剩余产品，不能实现他已设想的财富形成。

人们的产品在市场上交换成功是一个完整的生产周期实现过程。这个周期需要以2π（一个周期的完成）的形式来表示。反过来，如果我们设想附图1的正方形的边长为1，那么，这时的（无理数）。我们看到，在社会需求相互匹配的情况下，两个人对社会财富的贡献接近，但还不到1个半人对社会财富的贡献。而这仅仅是人们的社会生产和社会需求的相匹配过程，我们还不知道人们生产的产品能不能得到双方（市场）的认可。如果这种匹配的产品能够得到交换双方的认可，那么交换就得以进行，即实现了一个周期完成的2π过程，这时两个人在交换完成后对社会财富的贡献值约为，这是两个无理数的乘积，即一个人的社会效用（约为4.44）比四个人还要多（参看第三章延展阅读）。1973年，英国经济学家约翰·希克斯曾将亚当·斯密的专业化分工和规模经济效益进行了对比研究，他发现一个人专心致志从事某一产品的制作，比四十个人用他完成时间的1/40制作的同一产品的效率还要大。若我们假定这个人把他制作的产品用他完成制作的1/40时间在市场上销售了，那么我们的结论就和约翰·希克斯的结论基本接近，因为销售产品的时间长短难以统一。

在拓扑学中，称欧氏空间E3中过原点的直线为中心直线，所有这些中心直线构成的拓扑空间：RP2={E3里的中心直线}，称为射影平面。任取两条中心直线l1、l2, d（l1, l2）等于两条直线夹角的弧度（取介于0到π/2弧度之间的那个夹角）。考虑连续满射 l:S2→RP2,（x, y, z）→{（tx, ty, tz）t∈R}，即把每个点 P 映射为 P 所在的中心直线 lP。则由RP2中度量的定义可知，当时，l把P 在S2中的每个球形邻域Bδ（P）都变成lP在RP2中的一个球形邻域Bε（lP），这里δ=2sin（ε/2），因此l是商映射。可以看出，这里去掉了这个无理数，使其只留下在π以内的以统计数据为主的实数形式。因为在正方形边长为1的情况下它的对角线才有，于是近似的有：1×1⇒2πR∗×1。这里R∗为紧贴经济实际真实现状的校正数。很明显：R∗=1/2π≅0.15923…，我们通常在计算时约取0.16。这个近似的数据我们在第二章还可用另一种方法得出，它是一个很有用的数据。因为只有用它才能把人们生活习惯上的有理数形式“大体地返还回为”无理数形式（见图2）。

事实上，自然界的发展进化过程，包括人类经济社会形成和发展过程，基本上都是由无理数及其关系构成的，它是人类社会和自然界发展的基本特性，这就是亚当·斯密在他的《国富论》里一再强调的所谓人类的“历史倾向性、天性”等的原因。如上面提到的两种商品等价交换时形成的社会总财富一样；产品周期性的淘汰和自然界的周期性运动都包含着圆周率π；生物界包括人类的集聚以及自然界缓慢的发展变化都包含着自然对数的e；等等，这些都是无理数。数学家已经证明了不可能存在每一个有理数点处连续而在无理数点处不连续的函数。能够证明，在一个开区间上，“凸函数在至多除一可列集外的点上都是可微的”。所以，现代统计学如果能把“自己”所得到的经济统计数据（有理数）进行无理数处理，将会和现实经济曲线以及用数理经济学模型推导出的理论曲线吻合得十分紧密（详见第九章）。所以对于人类的经济活动来讲，欧氏空间E3本身就包含着缺陷，这就是不能把RP2嵌入到E3之中的原因。在第十章的延展阅读中，我们将会从另外一个角度来考察拓扑空间与无理数的关系，进而得出和本延展阅读相同的结论。

我们可用现代经济学原理，讨论在市场上产品没有被交换出去，这种剩余产品的值若几何？因为在埃奇沃斯盒中，这两种产品本能被交换出去而由于其他原因而没有完成交换，故它们就成为满足市场需求曲线的剩余商品。根据我们给定的条件，这个需求曲线的α=β =1，即有，P1=1-Q1, P2=1-Q2，这样就有：P1=P2, Q1=Q2。如图3，图中的对角虚线是市场需求曲线，对角实线是帕累托最优博弈线。现在两种商品都没有交换成功，就很类似于卡特尔寡头模型。于是，我们得到均衡价格P=P1=P2=1/2，均衡产量为Q=Q1=Q2=1/2，实际利润为1/4。而交换成功的利润为, 这就是在市场上的交换成功与交换不成功的根本差别。