【热点试题 分类精选】

基础过关

1.（2015北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的（）.

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2014全国）正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A -B1DC1的体积为（）.

A.3

B.

C.1

D.

3.（2014广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）.

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1，l4既不垂直也不平行

D.l1，l4的位置关系不确定

4.（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.

A.圆柱

B.圆锥

C.四面体

D.三棱柱

5.（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）.

A.

B.

C.

D.5

6.（2015广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）.

A.l至少与l1，l2中的一条相交

B.l与l1，l2都相交

C.l至多与l1，l2中的一条相交

D.l与l1，l2都不相交

7.（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）.

A.90cm2

B.129cm2

C.132cm2

D.138cm2

8.（2014陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）.

A.4π

B.3π

C.2π

D.π

9.（2014全国）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）.

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

10.（2015新课标1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

11.（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.

B.

C.

D.

12.（2014天津）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为______m3.

13.（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为______.

14.（2015江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为______.

15.（2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为______m3.

16.（2015浙江）如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______.

17.（2015上海）如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E，F分别是AB，BC的中点，证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.

18.（2014北京）如图，在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA 1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点.

（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥E-ABC的体积.

19.（2014湖北）如图，在正方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：

（1）直线BC1∥平面EFPQ；

（2）直线AC1⊥平面PQMN.

20.（2014江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.

（1）求证：直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

21.（2015安徽）如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=6 0°.

（1）求三棱锥P-ABC的体积；

（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值.

22.（2015新课标2）长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值.

23.（2015新课标1）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，AE⊥EC，BE=2DF.

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

中档提升

24.（2014北京）在空间直角坐标系O-x yz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，若S1，S2，S3分别表示三棱锥D-ABC在x Oy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）.

A.S1=S2=S3

B.S1=S2且S3≠S1

C.S1=S3且S3≠S2

D.S2=S3且S1≠S3

25.（2015新课标2）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）.

A.

B.

C.

D.

26.（2014四川）如图，在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC 1上，直线O P与平面A 1 B D所成的角为α，则si n α的取值范围是（）.

A.

B.

C.

D.

27.（2015新课标2）已知A，B是球O的球面上两点，∠A OB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）.

A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

28.（2015浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD -B的平面角为α，则（）.

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′CB≤α

29.（2015浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=3 0°，则点P的轨迹是（）.

A.直线

B.抛物线

C.椭圆

D.双曲线的一支

30.（2015海淀模拟）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图 ①②③④ 中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（）.

A.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①②③④

31.（2014湖北）在如图所示的空间直角坐标系O-x yz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）.

A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

32.（2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

33.（2014全国）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm、高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）.

A.

B.

C.

D.

34.（2014全国）已知二面角α-l-β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=1 3 5°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）.

A.

B.

C.

D.

35.（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是.

36.（2014北京西城模拟）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是______.

37.（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）

38.（2014上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______.

39.（2014山东）三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P -ABC的体积为V2，则=.

40.（2014北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P -ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.

（1）求证：AB∥FG；

（2）若PA⊥底面ABCDE，且AF⊥PE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

41.（2015湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P -ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.

（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.

42.（2015山东）如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2 DE，G，H分别为AC，BC的中点.

（1）求证：BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=4 5°，求平面FG H与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

43.（2014福建）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.

（1）求证：CD⊥AD.

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

44.（2014湖南）如图，四棱柱ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.

（1）证明：O1O⊥底面ABCD；

（2）若∠CBA=6 0°，求二面角C 1 -OB 1 -D的余弦值.

45.（2014全国）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：PB∥平面AEC；

（2）设二面角D-AE-C为6 0°，AP=1，，求三棱锥E-ACD的体积.

46.（2015江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.

47.（2015天津）如图，在四棱柱ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧棱A 1 A⊥ 底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.

（1）求证：MN∥平面ABCD；

（2）求二面角D1 -AC-B1的正弦值；

（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长.

压轴突破

48.（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）.

A.

B.

C.21

D.18

49.（2014陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）.

A.

B.4π C.2π

D.

50.（2015湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）.

A.

B.

C.

D.

51.（2015海淀模拟）若空间中有n（n≥5）个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其他任意三点确定的平面垂直，则这样的n值（）.

A.不存在

B.有无数个

C.等于5

D.最大值为8

52.（2015四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线E M与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为______.

53.（2015北京西城模拟）如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______，最大值为______.

54.（2014陕西）四面体ABCD及其三视图如图所示，过AB的中点E作平行于AD，BC的线段，分别交四面体的棱BD，CA于点F，H，过点H作HG∥EF，连接FG.

（1）证明：四边形EFGH是矩形；

（2）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.

55.（2014全国）如图，三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1中，点A 1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=9 0°，BC=1，AC=CC 1=2.

（1）证明：AC1⊥A1B；

（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 -AB-C的大小.

56.（2015福建）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.

（1）若D为线段AC的中点，求证AC⊥平面PDO；

（2）求三棱锥P -ABC体积的最大值；

（3）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.

57.（2014安徽）如图，四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中，A 1 A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.

（1）证明：Q为BB1的中点；

（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

（3）若A1A=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角大小.

58.（2014四川）三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

（1）证明：P为线段BC的中点；

（2）求二面角A -NP -M的余弦值.

59.（2014全国）如图，三棱锥ABC-A 1 B 1 C 1中，侧面BB 1 C 1 C为菱形，AB⊥B 1 C，连接BC1，交B1C于O，连接AO.

（1）证明：AC=AB1；

（2）若AC⊥AB 1，∠CBB 1=6 0°，AB=BC，求二面角A -A 1 B 1 -C 1的余弦值.