5.3 光纤[21],[58],[59],[63],[65],[67],[68]

前面对平板介质波导和矩形介质波导进行了分析。这里将对广泛应用于远距离、大容量通信的光纤进行分析。通常光纤是一种圆柱形的波导，按照其折射率的径向变化可分为阶跃光纤、渐变折射率光纤等。还有一些特殊的光纤，例如双折射光纤、椭圆光纤、蝴蝶结光纤等。本节将简单介绍阶跃光纤的电磁场理论。

5.3.1 导模与本征方程

由于光纤具有圆柱形结构，采用柱坐标系讨论比较方便。设光纤的轴沿z轴方向，纤芯半径为a，折射率为n1，包层折射率为n2，如图5.3-1所示。

在柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H分别表示为

设时谐电磁波沿z轴传播，则光场各分量与坐标z、时间t相关的因子可以写成expi[ (βz-ωt)]，将该因子代入柱坐标系中麦克斯韦方程的两个旋度方程可得

及

如果介质中没有自由电荷与传导电流，Ez、Hz满足标量亥姆霍兹方程，在柱坐标系中可以写成

式中，ψ表示Ez或Hz。

采用分离变量法求解方程（5.3-4），设试探解为

其中，m=0，1，2，3，…，将上式代入式（5.3-4）得到

方程（5.3-6）是贝塞尔方程。令

则在芯层，方程（5.3-6）可写为

在包层，方程（5.3-6）可写为

考虑到在光纤中传播的电磁场必须满足:当r<a时，E（r）有限;当r>a时，E（r）趋于0。因此可以取的解为

式中,。令Ua=U/a，Wa=W/a，Ua、Wa分别代表光纤芯内的横向相位常数和包层内的衰减系数。Jm，Km分别为第一类贝塞尔函数和第二类修正贝塞尔函数（汉克尔函数），图5.3-2（a）所示为几个低阶的第一类贝塞尔函数曲线，图5.3-2（b）所示为几个低阶的第二类修正贝塞尔函数曲线。

在芯层与包层的边界处，电场和磁场的切向分量连续，即

将式（5.3-9）代入式（5.3-10），得到

令

这样，可以将纵向电场分量和纵向磁场分量表示为

上面表示中略写了各项共同因子exp i[ (βz+mθ-ωt)]。求出纵向分量Ez、Hz 后，就可根据式（5.3-2）和式（5.3-3）求出其他横向分量，即

将式（5.3-13）各式分别代入式（5.3-14）中对应式，得到电场和磁场的横向分量，依次写为

以及

式中，J、K上面的“·”号表示对r的一阶导数。利用纤芯和包层界面处电磁场连续的边界条件，即

将式（5.3-15c）、式（5.3-15d）代入式（5.3-17a），以及将式（5.3-16c）、式（5.3-16d）代入式（5.3-17b）得到

注意，式（5.3-18a）与式（5.3-18b）右边相等，经过整理得到

上式即为光纤的本征方程，式中

V称为归一化频率。式（5.3-20）中

将式（5.3-19）与式（5.3-20）联立，可以求出在一定波导结构和波长情况下U、W、β各参量。在弱导条件下，即

式（5.3-19）可以化简为

式中，m=0，1，2，3，…。

5.3.2 导模的分类

光纤中的导模包括TE模、TM模、EH模和HE模，下面依次简单介绍。

1.TE模和TM模

TE模对应于纵向电场Ez=0的电磁场模式。根据Ez表达式可知，对TE模有A=0，进一步可得

由于B、β、U、W均不为零，因此上式成立的条件为m=0。此时，有

上式为TE模的本征方程。利用贝塞尔函数的性质

可以将式（5.3-25）表示为

TM模对应于纵向磁场Hz=0的电磁场模式。由Hz的表达式可知，对TM模，有B=0，类似分析可得m=0。于是有

上式为TM模的本征方程。

2.EH模和HE模

当m≠0时，A、B都不为零，表明Ez、H z将同时存在，不存在单独的TE模、T M模。这种Ez、H z同时存在的模式称为混合模，其中当Ez起主导作用时，称为EH模;当H z起主导作用时，称为HE模。

在弱导条件下，EH模和HE模的本征方程分别为

利用贝塞尔函数的性质

化简后得到

5.3.3 导模的截止条件和截止波长

1.导模的截止条件

当导模在波导中传播时，主要能量集中在波导芯层，沿纵向无衰减传播，U、W参量均为正数，导模场在芯层为振荡函数，由贝塞尔函数描写;而在包层中，导模场为指数衰减函数，由汉克尔函数描写。

U、W参量均为正数的条件为

如果，则W2<0，包层中场量的解变成振荡解，即出现辐射模，导致光场能量不能集中在波导芯层传播而截止。W=0为导模与辐射模的临界情况。因此截止条件为W=0，即

归一化频率Vc满足

即

通过本征方程求得Uc，进而确定Vc，最后获得各种模式的截止频率。

2.TE0n模和TM0n模的截止波长

对于TE0n模和TM0n模，因为m=0，所以式（5.3-19）变为

等号左侧前后两个因式为零分别对应于TE0n模和TM0n模。当W→0时，式（5.3-36）要求J0(U)=0，这就是TE0n模和TM0n模的截止条件。因为J0(U)是个振荡函数，它有许多根，不同的根对应不同阶模的截止条件。当n=1时，U01=2.41（U01的下标01表示零阶贝塞尔函数的第一个根），说明当纤芯半径a满足方程U01≤2.41时，TE01模和TM01模就因为截止而不存在了。对于更高阶的模，即n=2，3，4，…可以依次类推。截止时，归一化频率为

当n=1时，对应的模TE01和TM01的归一化截止频率最低。由于U01=2.405，可得TE01（或TM01）模的截止波长为

当光纤的其他参量一定时，若λ≥λc，则相应的模式不能在波导中传播。

3.HE mn模的截止波长

截止时，W=0。根据HE模的本征方程，当W→0时，式（5.3-31b）右边的渐进特性应区分为m=1与m≥2两种情况。下面就这两种情况进行讨论。

1)HE1n模

当m=1时，本征方程及其渐进方式为

因此，当m=1时，HE模在截止状态下的本征方程为

其解为Uc=0和J1(Uc)=0的根Uc=u1l，u1l表示一阶贝塞尔函数的第l个根。但Uc=0是否应舍弃需要进一步考察。因为当U→0时，J0（U）→1，因此是本征方程W→0时的解，应该保留。这样得HE1n模的截止参数为

当n=1时，U11=0，对应的截止波长λc(HE11)=∞。说明HE11模没有截止限制，所以称为光波导中的优势模（即该模总是存在的）。

2)HEmn(m≥2)模

当m≥2时，Km（W）的渐进方式为

利用贝塞尔函数递推关系

2mJm(U)=UJm-1(U)+UJm+1(U)

将式中阶数降1，即m→m-1，得

2(m-1)Jm-1(U)=UJm-2(U)+UJm(U)

因此当m≥2时，本征方程及其渐进方式为

于是当m≥2时，HE模在截止状态下的本征方程为

上式的解为m-2阶贝塞尔函数的根，于是有

对HE21模，U01=2.405，截止波长为

容易验证，HE2n模与TE0n模、TM0n模具有相同的截止波长，它们是简并模。

4.EH mn（m≥1）模的截止条件

根据EH模的本征方程（5.3-31a），当W→0时，该式右边的渐进式为

因此有

注意到当Uc→0时，上式的渐进式为

可见，截止时Uc≠0，因此当m≥1时，EH模在截止状态下的本征方程为

这里Uc≠0表示，Jm(Uc)=0的第一个根要从Uc≠0的根算起。这样，截止参数Uc或归一化截止频率Vc为m阶贝塞尔函数的根Umm，即

例如，对EH11模，U11=3.832，截止波长为

5.3.4 色散曲线

光纤中导模的传播特性与U、V、β等参数有关。U、V决定导模光场的横向分布;β决定导模光场的纵向分布。归一化频率V是与光波的频率、波导尺寸及折射率分布有关的无量纲参数。一旦归一化频率V给定后，则根据本征方程可以确定U、W等参数，并进一步获得纵向传播常数β，也即

改变V的值可以得到不同的β，从而得到各种模式的β-V关系。另外，波的相速vp和群速vg分别为

及

如果知道β-V关系，就等效于知道β-ω关系，即色散关系。根据色散关系，可以获得不同模式的群速和相速关系。图5.3-3所示为几个低阶模式的色散曲线。图中横轴表示归一化频率V，纵轴表示归一化相位。