5.2 矩形介质波导[57～61],[66]

与平板波导仅在一个方向对光传播进行约束不同，矩形介质波导将在x和y方向对光加以限制（假设光沿z方向传播）。矩形波导的分析较为复杂。目前还没有一种严格的分析方法可以得到矩形波导的导模解析解。比较有名的分析方法包括马卡提里近似解法、有效折射率法、微扰法、圆谐函数展开法，以及有限元法等数值解法。

5.2.1 马卡提里近似解法

矩形介质波导结构如图5.2-1所示。这个波导由九个区域构成，其中四角的阴影区可不考虑，另外五个区域的折射率分别为n1、n2、n3、n4、n5。1969年，马卡提里提出一种分析矩形波导的方法，假定导模远离截止条件，导模携带的大部分能量被约束于区域I进行传输，在邻近的II、III、IV、V区域能量很少，而在对角的四个区域VI、VII、VIII、IX能量更少。该方法忽略对角四个区域的场分布，并且只考虑芯层四周界面的边界条件。当光被高度约束在芯层传播时，马卡提里方法可以得到很好的结果。另外，假定光场的纵向分量远小于其横向分量，导模波形近似为TEM波。在这种情况下，可以将导模分成横向分量为Ex、Hy的模式和横向分量为Ey、Hx的模式。模式表示电场振动方向沿x轴，并且光场沿x、y方向的极大值数目分别为m和n的一种场分布模式，也有类似的含义。

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图5.2-1 矩形介质波导

1.模式分析

模的电场沿x方向振动，Ey=0。沿z方向波导均匀，且∂/∂z=iβ。时谐电磁波的电磁场方程为

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将式（5.1-1）代入式（5.2-1），计算后写成分量形式为

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及

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由式（5.2-2）可得

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另外，根据

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将上式表示成分量形式为

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于是得到

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其中，用到条件

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即假定在同一介质中，折射率不随x坐标变化。

将式（5.2-4b）、式（5.2-4c）代入式（5.2-3a），经过整理得

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对于导模，仅在芯层具有振荡解，而在共边的四个相邻区域具有指数衰减形式，在对角的四个区域可视为零。据此，可以将方程（5.2-9）的解分区域表示为

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式中，C1、C2、C3、C4、C5为振幅因子;φ1、φ2为待定的初相位常数;kx、ky为传播常数的x、y分量;α2、α3、α4、α5为光场在波导芯层共边的相邻区域与边界垂直方向上的衰减常数。波导芯层沿x、y方向的尺度分别为2a、2b。将式（5.2-10a）至式（5.2-10e）代入式（5.2-9）得到

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由式（5.2-11a）分别减去式（5.2-11b）、式（5.2-11c）、式（5.2-11d）、式（5.2-11e），并整理得到

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进一步利用边界条件，可以得到模的本征方程。

1)在x=±a处,Hy和Ez连续

利用Hy和Ez在x=a处的连续性条件，将式（5.2-10a）、式（5.2-10d）代入式（5.2-7）得

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将式（5.2-10a）、式（5.2-10d）代入式（5.2-4b）得

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式（5.2-13）与式（5.2-14）相除可得

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利用

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将式（5.2-16）代入式（5.2-15）得

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同样方法，在x=-a处，利用Hy和Ez的边界条件可得

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从式（5.2-17）、式（5.2-18）中消去φ1可得

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一般地，因此近似有

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2)在y=±b处,Ex和H z连续

在y=b处，Ex和H z连续，由式（5.2-10b）和式（5.2-10c）可得

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将式（5.2-10b）、式（5.2-10c）代入式（5.2-4c）得

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式（5.2-22）与式（5.2-21）相除可得

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同样方法，在y=-b处利用场的切向连续条件可得

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从式（5.2-23）、式（5.2-24）中消去φ2可得

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前面指出,模的下标m、n分别表示光场沿x、y方向变化的极大值数目。为了将模本征方程中的下标p、q换成m、n表示，利用三角函数关系

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可以将模本征方程写成

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2.模式分析

对于模，已知主要电磁场分量是Ey和Hz。可以用类似于求解模的方法来分析模。根据麦克斯韦方程中电场与磁场的对称关系，只需要将E换成H，将μ0换成-ε即可。由此写出麦克斯韦方程的分量形式为

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及

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由式（5.2-28a）至式（5.2-28c）可得

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另外，根据

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表示成分量形式为

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由上式可得

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将式（5.2-30b）、式（5.2-30c）及式（5.2-33）代入式（5.2-29a），经过整理得

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同理，将方程（5.2-34）的解分区域表示为

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利用边界条件，可以得到模的本征方程为

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5.2.2 有效折射率法

与前面介绍的马卡提里方法类似，有效折射率法也假定介质波导中传播的模式远离截止条件。这个条件使得矩形波导中的模式可以分成两种类型，即模。利用5.1节中平板波导的结果，可以把矩形波导分解为图5.2-2所示的两个一维平板波导的组合。在图5.2-2中，图（a）所示的平板介质波导薄膜层的折射率与矩形介质波导芯层的折射率相同，均为n1;图（b）所示的平板介质波导薄膜层的折射率为图（a）所示的波导沿y方向的有效折射率N1。N1的值由下式得出

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下面通过具体的模式分析，导出各类模式的本征方程，并求出模式的本征值。

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图5.2-2 有效折射率法分解示意图

1.E xm n模式分析

对于模，已知主要电磁场分量是Ex和Ey。从图5.2-2可以看出，这种场相当于图（a）所示的平板波导中的TE波;而对图（b）所示的平板波导而言，这种场相当于TM波。上述分析可得两平板波导的模式本征方程分别为

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式中

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注意在图5.2-2中，图（a）及图（b）中两个一维平板波导不是等价的。图（a）所示的平板波导是图（b）所示的平板波导有效折射率的提供者。N1一旦确定，图（b）所示的平板波导的传播常数就是矩形介质波导的传播常数。由式（5.2-38b），可以求出矩形介质波导的传播常数为

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把式（5.2-37）代入式（5.2-40），可得

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上式即矩形介质波导的传播常数。

2.模式分析

对于模，已知主要的电磁场分量是Ey和Hz。从图5.2-2可以看出，这种场相当于图（a）所示的平板波导中的TM波;而对图（b）所示的平板波导，这种场相当于TE波。与前面的分析类似，可得两平板波导的模式本征方程分别为

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有效折射率法是一种简便、实用且较精确的方法，这种方法在矩形介质波导中得到广泛的应用。

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