4.5 晶体的电光效应[5],[14],[21],[40]

4.5.1 电光效应的基本概念

一些晶体或其他光学材料在外加电场的作用下，其光学性质发生变化，这种现象称为电光效应。用折射率椭球可完整而方便地表示折射率在晶体中各方向上的取值分布。因此，外电场对晶体折射率的影响，也可通过此折射率椭球的大小、形状和取向等变化来描述。折射率椭球的一般形式为

或

这里x1、x2、x3分别对应x、y、z。式（4.5-2）中，βrij为相对逆介电张量，即

为方便起见，在下面的讨论中略去βrij下标中的r，即令βij≜βrij，下文中的β'、β0也指相对逆介电张量。无外电场E与有外电场E时的折射率椭球分别记为

加上外电场后，折射率椭球各系数的变化用Δβij来描述。求出Δβij即可确定椭球的大小、形状和方位。若将Δβij展开为E的函数，则有

式（4.5-6）中右侧第一项与外加电场的一次项有关，该项引起的效应称为线性电光效应。该效应是泡克耳斯（F. Pockels）于1893年首先发现的，因此也称线性电光效应为泡克耳斯效应。γi j k是三阶张量，称为线性电光系数或泡克耳斯电光系数。式（4.5-6）中第二项是外加电场二次项的函数，该项引起的效应称为二次电光效应。该效应是克尔（J. Kerr）于1875年首先发现的，因此也称二次电光效应为电光克尔效应。hijpq是四阶张量，称为二次电光系数或克尔电光系数。

4.5.2 晶体的线性电光系数

在主轴化和未加电场的情况下，晶体的折射率椭球为

晶体上加电场后，由于电光效应，折射率椭球发生变化，其表达式的一般形式为

由于εij是二阶对称张量，因此其逆张量βij也是二阶对称张量，即βij=βji。这样βij的独立分量只有六个，因此式（4.5-8）可简化为

比较式（4.5-7）和式（4.5-9），可得加电场后各系数的变化为

由于βij是二阶对称张量，根据交换对称性，其二重下标可简化为单下标，对应关系为

(xx)→1 ( yy)→2 ( zz)→3 ( yz)→4 ( zx)→5 ( xy)→6

为讨论方便起见，以后将单下标x、y、z对应为1、2、3。

同样，Δβij也可用单下标表示。γijk是三阶张量，由于βij=βji，对于任何Ek，均有Δβij=Δβji，由此可得

因此γi j k的独立分量从27个减少到18个;且可把前两个下标简化成数字1～6的单下标，于是只考虑线性电光效应时，可将式（4.5-6）简化为

相应的矩阵形式为

式（4.5-13）中的γ矩阵就是线性电光系数矩阵。于是加外电场后，晶体折射率椭球的表达式变为

4.5.3 晶体对称性对电光系数矩阵的影响

晶体的电光系数矩阵（γi j）一般有18个独立分量，但由于晶体的对称性，其独立分量数要进一步减少。利用对称操作法可证明，这18个分量中有些分量为零。例如，空间反演操作I使任意矢量V反号，即I（V）=-V。将空间反演操作I作用于式（4.5-12），即

但因晶体有对称中心，因此

即上述转换不能改变对应的分量，其结果只能是γij=0，这表明有对称中心的晶体一定没有线性电光效应。因此，如果已知晶体的对称类型，则其电光张量的形式就可以确定。

4.5.4 示例:KDP型晶体的线性电光效应

KDP晶体是人工生长的KH2PO4单晶体，是单轴晶体，属四方晶系，对称群为m点群，其光轴和四次反演轴重合。KDP晶体的线性电光系数矩阵如下

由式（4.5-13）得出

将式（4.5-16）代入式（4.5-14）得

由此可见，加电场后折射率椭球方程出现了交叉项，表明晶体的介电主轴发生了变化。一般地，新折射率椭球的介电主轴不再与原介电主轴重合，三个主折射率也要随之而变。式（4.5-17）还说明，垂直于光轴方向的电场分量只引起与γ41有关的变化，而平行于光轴方向的电场分量只引起与γ63有关的变化。下面就外电场平行于光轴及外电场垂直于光轴这两种情况进行讨论。

1.电场方向平行于光轴

这时E1=E2=0，式（4.5-17）变成

或

由式（4.5-19）可知，与外加电场有关的交叉项中不含x3轴，说明沿x3方向加电场后，新旧折射率椭球的主轴与x3重合，另外两主轴轴在x1x2平面内绕x3轴逆时针旋转了一个角度α。新旧坐标间的关系为

将式（4.5-20）代入式（4.5-19）得

由于已经假定新坐标系的各坐标轴是新折射率椭球的主轴，故式（4.5-21）的交叉项必为零，但γ63和E3不为零，因此有cos2α-sin2α=0，即

可见沿x3方向加电场后，折射率椭球要绕x3轴旋转45°，该转角与电场大小无关，但转动方向与电场方向有关。取α=45°代入式（4.5-21），得主轴化的新折射率椭球方程为

或

式（4.5-23）是双轴晶体折射率椭球的一般方程式。这说明，KDP晶体沿x3方向加电场E3以后，从单轴晶体变成了双轴晶体，其折射率椭球与x1x2面的交线则由r=n0的圆变成了主轴在45°方向上的椭圆，如图4.5-1所示。从式（4.5-23a）可求出新折射率椭球的三个主折射率为

当外加电场较弱时，γ63E3≪1，则由式（4.5-24）近似得到

以上讨论了沿x3方向加电场时折射率椭球的变化情况。但晶体中的双折射性质还与光波的传播方向有关。下面再分别讨论沿方向通光（γ63的纵向电光效应）与沿或方向通光（波63的横向电光效应）时的效应。

1)γ63的纵向电光效应

在纵向应用时，电场沿x3方向，光也沿x3方向传播。在外加电场E3之前，x3 是晶体的光轴方向，没有双折射。在加E3之后，振动方向沿和轴的两束偏振光的折射率分别为。设晶体沿x3方向的厚度为l，则γ63的纵向电光效应引起的相位差为

式中，λ为入射光波长。当晶体上所加电压为V时，有E3=V/l，因此

式（4.5-27）表明，γ63的纵向电光效应引起的相位差只与晶体上电压V成正比，而与晶片厚度l无关。当δ=π时，由式（4.5-27）可得相应的电压为

V π（或Vλ/2）称为半波电压，它是电光晶体十分重要的参数。显然，γ63越大，V π越低。通常γ63的值可通过测量相应的半波电压Vπ后，再利用式（4.5-28）计算得到。由于γ63≈10-12 m/V，因此Vπ的值一般都很大。例如，对KDP晶体，γ63=-10.5×10-12 m/V，no=1.5064，对λ=0.69μm的红光，由式（4.5-28）可求出Vπ≈9.6kV。

2)γ63的横向电光效应

在横向应用时，电场方向仍与光轴方向一致，但光的传播方向和电场方向垂直。晶体内光波法线方向与x1或x2轴成45°夹角，即沿方向（或方向），如图4.5-2所示。将光矢量分别沿（或）轴和x3轴方向分解成两偏振光分量，对应的折射率是

在通过长度为l的晶片之后，两偏振光之间的相位差为

设晶体厚为d，外加电压为V，则E3=V/d，将其代入上式得

由式（4.5-31）可以看出，γ63的横向效应与晶体的尺寸有关，可通过改变晶体的尺寸（d/l）来改变半波电压。但横向效应中含有自然双折射的贡献，因此在应用时，易受温度的影响。

2.电场方向垂直于光轴

KDP型晶体为单轴晶体，光轴沿x3轴。由电光系数矩阵可知，沿晶体的x1轴和x2轴加电场所产生的效果一样。不妨设电场平行于x1轴，即E2=E3=0，E1≠0，于是式（4.5-17）变为

或

由式（4.5-32）可以看出，交叉项中不含x1轴，因此，新旧折射率椭球的主轴与x1重合，另两个主轴轴在x2x3平面内绕x1轴逆时针旋转了一个角度α。主轴化后，新折射率椭球的标准方程为

式中，角度α满足

一般α很小，如对KDP晶体，当E1=106 V/m时，α仅为0.04°。根据式（4.5-33），新的主折射率为

α近似与E1成正比，因此上式中，折射率的改变与E1的平方成正比。

4.5.5 晶体的二次电光效应

许多各向同性的固体、液体或气体，在强电场（电场方向与光传播方向垂直）作用下会变成各向异性介质，而且电场引起的双折射与电场强度的平方成正比，这就是二次电光效应（或电光克尔效应）。二次电光效应是高次效应，比线性电光效应小很多;当线性电光效应存在时，通常被忽略。只有当线性电光效应不存在时，二次电光效应才起主导作用。

二次电光效应的一般表达式为

式中，Ep和Eq为电场分量;hijpq为二次电光系数（或电光克尔系数），单位是m2/V2。hijpq为四阶张量，下标的取值范围都是1～3。由于EpEq=EqEp以及Δβij=Δβji，因此二次电光系数的前两个下标i，j以及后两个下标p，q都是对称的，即

这样，i、j和p、q可分别采用简化下标m和n来表示，用简化下标后，将式（4.5-36）用矩阵形式表示为

式中，分量hm n的数目为36个。对于各类晶体，由于对称性的制约，不为零的分量数目要减少。各类晶体的h矩阵的具体形式，可在有关手册中查到。

【例4.5-1】 讨论各向同性介质中的二次电光效应。

解:介质未加电场时，它是各向同性的，其折射率椭球为

各向同性介质的hmn矩阵形式为

其中只有三个独立的二次电光系数，即h11，h12和h44。加电场后，折射率椭球成为

若外加电场沿x3轴，即E1=E2=0，E3=E，因此，式（4.5-41）变成

这说明加外电场后折射率椭球由球体变成旋转椭球，其主折射率为

当光沿x3方向传播时，无双折射现象;当光沿x1方向传播时，产生的相位差为

式中

且

K称为二次电光系数，即克尔电光系数。