4.2 光学曲面[2],[14],[21],[45]

4.2.1 折射率椭球与菲涅耳椭球

1.折射率椭球

由本构关系D=ε·E=ε0εr·E或Di=ε0εijEj可得

式中，β为介电张量的逆张量，称为逆介电张量。逆介电张量是一个二阶张量，其示性面（参见附录A.2.3）称为折射率椭球或光率体。在主轴坐标系中，β的二阶示性面为

其中，βx、βy、βz称为主逆介电常数，相应的相对主逆介电常数为βrx、βry、βrz，它们与主相对介电常数和主折射率的关系为

因此，在主轴坐标系中，折射率椭球方程也可以写成

或者

可以证明，折射率椭球有下面两个重要的性质。

（1）折射率椭球任意一个矢径方向代表光波电位移矢量D的方向，矢径的大小表示电位移矢量D沿该矢径方向振动的光波的折射率。

（2）当波矢为k的光波在晶体中传播时，与之相应的两个线偏振光的电位移矢量D'、D″可以利用折射率椭球来确定。具体做法是:过折射率椭球中心作与k垂直的平面，该平面与折射率椭球相截，截线为一椭圆，则椭圆的主轴方向即为D'、D″的方向，相应的折射率为椭圆矢径的数值n'、n″。

先证明第一个性质。在介电主轴坐标系中，各向异性介质中电磁波的电场能量密度可以写成

若不考虑晶体的吸收等损耗，则WE为常数。引入常数C=2ε0WE，则有

将上式作变量代换，令，于是得到

此即式（4.2-5）所表示的椭球方程。

椭球上任意点（x，y，z）的矢径r，即。由于C为常数，因此D平行于r，这就证明了折射率椭球的矢径方向代表光波电位移矢量D的方向。并且，即矢径的大小表示D沿该矢径方向振动的光波的折射率。

关于第二个性质的证明就不详细介绍了，基本上就是一个解析几何的练习。这里提供一个思路，即先由给定的波矢k或者波法线方向确定与其垂直并过球心的平面方程，再将此方程代入式（4.2-7），得到一个椭圆方程，即可证明。

下面介绍不同晶体的折射率椭球方程。

1)立方晶体

对立方晶体，有

将上式代入折射率椭球方程得

这是一个半径为no的球的方程。

2)单轴晶体

设单轴晶体的光轴沿z方向，则

这样，单轴晶体的折射率椭球方程为

这是一个以z轴为对称轴的旋转椭球的方程，当no<ne时，o光的传播速度大于e光的传播速度，这类晶体称为正单轴晶体;当no>ne时，o光的传播速度小于e光的传播速度，这类晶体称为负单轴晶体。当z=0时，式（4.2-11）变为折射率椭球与z=0平面的截线的方程，它表示一个在xy平面内、半径为no的圆，即

折射率椭球在yz平面和xz平面的截线方程分别为

可见，折射率椭球在yz平面和xz平面的截线是一个椭圆，椭圆的两个主轴的半轴长分别为no和ne。

设波矢k与光轴的夹角为θ，如图4.2-1所示。下面求过球心O的波矢k的垂面与折射率椭球的截线的方程。为讨论方便起见，引入新的坐标系x'y'z'，它与原坐标系的变换关系为

在新坐标系中，截线方程为

将上式写成

其中

即

3)双轴晶体

对于双轴晶体，nx≠ny≠nz。为讨论方便起见，不妨设nx<ny<nz。折射率椭球在xz平面上的截线的方程为

在极坐标下，可将上式写成

其中θ为矢径r与x轴的夹角。式（4.2-20）所表示的椭圆，其矢径值从x轴的nx变化到z轴的nz，由于nx<ny<nz，则在x轴和z轴之间必存在一处，其矢径值恰好为ny，设该处矢径r0与x轴的夹角为θ0，则式（4.2-21）可写成

于是有

显然，满足式（4.2-23）的θ0有两个，对应的矢径r0也有两个，如图4.2-2所示。与矢径r0垂直的方向就是光轴方向，同样存在两个光轴，分别记为C1、C2，这类晶体称为双轴晶体。

对于双轴晶体，有几点重要性质总结如下。

（1）C1、C2的方向分别为:

（2）正双轴晶体:如果ny比较接近n x，即nz-ny>ny-nx，此时矢径r 0更接近x轴，θ0<4 5°，C1、C2轴更接近z轴。负双轴晶体:如果ny比较接近nz，即nz-ny<ny-nx，此时矢径r0更接近z轴，θ0>45°，C1、C2轴更接近x轴。

（3）光轴角2Ω:光轴角为C1与C2轴所夹的锐角。对正双轴晶体，z轴是光轴角的锐角平分线，即。对负双轴晶体，x轴是光轴角的锐角平分线，即。

（4）双轴晶体中的光波都是非寻常光，两个不同偏振方向的折射率均与波矢方向有关。当波法线沿着光轴方向时，过椭球中心并与波法线垂直的平面与折射率椭球的截线为圆，允许本征传播模的振动矢量D可以在圆内沿任意方向，并具有相同的折射率ny，但由于D矢量与E矢量不重合，不同的振动矢量D所对应的光波尽管有相同的波法线方向和折射率，但光线方向不同，因此将产生圆锥折射现象。只有当波法线沿某主轴时，波法线方向才与光线方向一致，但此时两个振动方向相互垂直的本征模具有不同的折射率，因此在双轴晶体中沿任何方向传播且具有相同折射率的偏振光是不存在的。

2.菲涅耳椭球

在主轴坐标系中，二阶相对介电张量εr对应的示性面为

这是一个椭球的方程，该椭球称为菲涅耳椭球。根据对偶法则，类似于折射率椭球的讨论，在给定能流方向S的条件下，可以得到与之相应的两个电场矢量E'和E″，以及折射率的倒数1/nr的两个相应值1/和1/。S与E'和E″构成正交系统。

4.2.2 折射率面与波矢面

1.折射率面

为描述晶体的折射率在空间分布状况，引入折射率面概念，其定义为:矢径方向平行于波法线方向，矢径的长度分别取相应两种光波的折射率，当波法线方向取遍所有空间取向，矢径末端在空间描出的曲面即为折射率面。按折射率面定义，可以求出其表达式为

或

根据折射率面的定义有

即

于是有

下面分别介绍几种晶体的折射率面的具体形式。

1)立方晶体

对于立方晶体，有

将上式代入式（4.2-29），则有

或

即

显然这是一个半径为no的球面的方程。

2)单轴晶体

对于单轴晶体，有

因此有

上式等价于

式（4.2-37）即

式（4.2-36）表示一个半径为no的球面，表明在单轴晶体中沿任何方向传播的两个光波中，总有一个波对应的折射率恒为no。这种折射率与波法线方向无关的光即o光，故o光的折射率面为球面。式（4.2-38）表示一个旋转椭球面，表明有一个波对应的折射率与波法线方向有关，该光即e光。对于正单轴晶体，no<ne，球面内切于椭球面;对于负单轴晶体，no>ne，球面外切于椭球面。

3)双轴晶体

对于双轴晶体nx≠ny≠nz，选择坐标系，使nx<ny<nz，则有

可见，对于双轴晶体，折射率面在xy平面、yz平面及xz平面上的截线均由一个圆和一个椭圆构成，如图4.2-3所示。在xy平面上，椭圆截线在圆截线内部;在yz平面上，椭圆截线在圆截线外部;在xz平面上，椭圆截线与圆截线相交于四点，通过原点将交点两两连接得C1、C2两条直线，沿C1或C2两条直线方向传播的两支光波具有相同的折射率，也即两支光的法线速度（相速）相同，因此称C1、C2为双轴晶体的光轴，也称第一类光轴。

2.波矢面

所谓波矢面是指以波矢k为矢径，其末端在空间描出的曲面。矢径的长度为光波在介质中的波数k。

3.折射率面与波矢面的关系

对于波矢面，其矢径为

r=k=kk0=k0nk0

与折射率面矢径，即式（4.2-26）相比，两者仅差一个常数。因此，波矢面与折射率面具有相同的几何形状，两者差别仅表现在矢径长度不同，对折射率面的讨论结果完全适用于波矢面。

4.2.3 法线面与光线面

1.法线面

自原点O向各个方向引出矢径r，矢径方向平行于光波法线方向k，矢径的长度为k方向的法线速度（相速），即

这样，矢径r端点的轨迹构成的面就是波法线面。由于矢径与、仅差一常数。由此可见，法线面实际上等价于折射率面的倒数面或波矢面的倒数面。下面从折射率面的倒数面出发讨论法线面的性质，取矢径坐标分量

及

代入菲涅耳法线方程

整理得

与讨论折射率面情况类似，对各类晶体的法线面简单介绍如下。

1)立方晶体

对于立方晶体，有

代入式（4.2-46）得

或

即

显然式（4.2-50）表示一个半径为1/no的球面。

2)单轴晶体

对于单轴晶体，则有

将式（4.2-51）代入式（4.2-46），并考察该式在三个坐标面上截线的方程情况，经过计算可得

可见，对于单轴晶体，法线面在xy平面上的两支截线均为圆，在yz平面及xz平面上的截线均由一个圆和一个四次卵形线构成。

3)双轴晶体

对于双轴晶体nx≠ny≠nz，选择坐标系，使nx<ny<nz，法线面在三个坐标面上截线的方程分别为

显然，对于双轴晶体，法线面在三个坐标面上的截线均由一个圆和一个四次卵形线构成，如图4.2-4所示。

2.光线面

自原点O向各个方向引出矢径r，矢径方向平行于光线方向s，矢径的长度等于光线速度，矢径r端点的轨迹构成的面称为光线面。根据定义，矢径r可写为

根据前面的讨论，用类似方法可以得到光线面的方程为

根据材料不同的对称性，分别可得:

1)立方晶体

对于立方晶体，有

将上式代入方程（4.2-59），则有

即

显然这是一个半径为vo的球面的方程。

2)单轴晶体

对于单轴晶体，有vx=vy=vo，vz=ve，于是光线面可表示为

可见，对于单轴晶体，光线面由一个球面和一个旋转椭球面构成。

3)双轴晶体

对于双轴晶体，有vx≠vy≠vz，各坐标面上的截线方程分别为

显然，对于双轴晶体，光线面在三个坐标面上的截线均由一个圆和一个椭圆构成，如图4.2-5所示。若仍然假设主折射率nx<ny<nz，则主传播速度vx>vy>vz，在xz平面上，椭圆截线与圆截线相交于四点，通过原点将交点两两连接得L1、L2两条直线，沿L1、L2两条直线方向传播的两支光波具有相同的光线速度，因此称L1、L2为双轴晶体的光线轴，也称第二类光轴。注意，前文提到沿双轴晶体第一类光轴C1或C2传播的光具有相同的法线速度（相速），而此处指的是光线速度。

3.光线面与法线面的几何关系

上面讨论了光线面与法线面的一些特点，光线面是四次曲面，而法线面是六次曲面。这两个曲面之间有重要的几何关系:自光线面上的任意一点P作光线面的切平面，再通过原点O引该切平面的垂足P'，则OP'方向为相应光线OP'的波法线方向，P'的轨迹就是法线面，如图4.2-6所示。

下面来证明光线面与法线面之间的这种关系。法线速度与光线速度间的关系为

其中α为离散角。根据方程

将

代入式（4.2-68）可得

由上式可知，当E变化δE时，引起D、r分别变化δD、δr，并且满足下式

用D点乘上式两边，并注意到

于是得到

由式（4.2-70）可以看出，式（4.2-73）两边含δD的项相互抵消，于是有

即

由于D×s0与D及s0都垂直，因此(D×s0)×D在(D，s0)面内，并且与D垂直，因此该矢量平行于k0，即

于是有

即光线面的切面总是垂直于相应的波法线。这就证明了光线面与法线面之间的几何关系

【例4.2-1】 证明在单轴晶体中，非寻常光的光线速度υr与光轴的夹角ξ和法线速度vp与光轴的夹角θ满足

证明:图4.2-7所示为光线面在xz面上的截线图，其中z轴为光轴。光线速度vr沿OR方向，法线速度vp沿ON方向。根据式（4.2-63）的第二式

将y=0以及ve=c/ne、vo=c/no代入上式，得到

取微分得

由图4.2-7可知，x/z=tanξ，以及dz/dx=tan(π-θ)=-tanθ，于是有