3.3 光子晶体的光子频带结构

3.3.1 光子晶体的理论分析方法[29],[30],[36],[38],[39]

光子在周期性结构中的行为与电子在晶体中的行为非常相似。电子在晶体中的行为可以用薛定谔方程来描述，光子在周期性结构中的行为则是用麦克斯韦方程描述。在具有周期性结构的介质材料中，由麦克斯韦方程可得到关于光子传播行为的微分方程，该方程与电子在晶体中的薛定谔方程类似。虽然两者在形式上存在相似性，但也有明显的区别。例如，电子是费米子（自旋为半整数），而光子是玻色子（自旋为整数）;描述光子行为的电磁波方程具有矢量形式，而描述电子行为的薛定谔方程是标量方程。由于光子晶体具有类似于电子晶体的结构，通常采用分析晶体的电子能带结构的方法结合电磁理论来分析光子晶体的特性，并取得了和实验一致的结果。主要的方法有:平面波展开法、球面波展开法、传递矩阵法、时域有限差分法、有限元法等。

对光子晶体性能的描述，主要基于光子频带的分析。光子晶体的频带图主要说明光在光子晶体中的模式分布，但它只能确定光在其中以何种模式存在，而不能判定光在晶体中如何传播。解释光在周期性介质中的传播特性主要有两种理论，一种是耦合模理论，另一种是布洛赫-弗洛凯（Bloch-Floquet）理论。相对于耦合模理论，布洛赫-弗洛凯理论能对光在周期性介质中的行为给出一个比较直观的理解。耦合模理论只是根据光在周期性结构外部的行为来推测其在晶体内部的行为，因此在处理光在晶体内部的实际行为时存在先天的不足。

3.3.2 光子晶体的频带计算[29],[30],[39]

现在在理论上分析一下光子晶体的特性。假设构成光子晶体的介质是线性的和各向同性的，且设电场和磁场为简谐模式（其他的任何模式都可以通过傅里叶级数叠加得到），即

将电场和磁场各自的表达式代入麦克斯韦方程中，有

式（3.3-2）表明在光子晶体中，电磁波是横向的。再由麦克斯韦方程中的旋度式得

将式（3.3-3b）两边同时除以ε(r)后，并取旋度，把式（3.3-3a）代入其中便得到

引入算符，令

将式（3.3-4）写成

类似地，可以得到描述电场的方程

可以证明算子不是厄米算子，而是厄米算子，其本征值为实数，并且其本征函数构成完备正交系。因此一般通过求解方程（3.3-6）获得光子晶体的频带结构。式（3.3-5）中，介电函数ε（r）为周期函数，以晶格常数R为周期，即

为求解方程（3.3-6），将1/ε（r）展开成傅里叶级数形式

式中，各展开式系数表示为

对于由半径为ra、介电常数为εa的介质球在介电常数为εb的基质材料中有序排列构成的三维光子晶体，1/ε（r）可写为

式中，S(r)定义为

将式（3.3-11）和式（3.3-12）代入式（3.3-10），得

当G=0时，有

当G≠0时，有

式中

f表示球形“原子”在晶格中所占的体积比，称为填充因子。

根据布洛赫-弗洛凯理论，周期性结构中的电磁波能够用一系列平面波展开，所以可以得到光子晶体中磁场为

式中，ω为频率;k是波矢，在第一布里渊区内取值;G是倒格矢;eλ（λ=1，2）是与（k+G）相互垂直的两个正交单位矢量。在得出上面的展开式时，利用了磁场H的横波性，即▽·H=0，因此H的每一支平面波分量的磁场矢量均在垂直于（k+G）的平面内振动，可以由基矢eλ（λ=1，2）合成。将式（3.3-17）代入式（3.3-6），可以得到关于磁场展开式中傅里叶系数HG，λ的方程，即

式中

通过数值求解方程（3.3-18）即可得到本征模的色散关系，也即得到光子晶体的频带结构。方程（3.3-18）只在特定的频率处有解，而在某些频率区域没有解，从而形成光子频带。频带之间为光子禁带。1990年，何启明（Ho K. M.）等人考虑了电磁场的矢量特性，对一种面心立方结构的光子晶体进行了计算，得到其频带结构，如图3.3-1（a）所示。该光子晶体是由球状空气孔在折射率为3.5的介质中形成的面心立方结构，填充比为86%的空气对14%的介质。可以看出在布里渊区的大部分区域，存在着禁带，但是在对称点W、U处不存在禁带，因此对于这种面心立方结构只存在赝禁带。图3.3-1（a）中，沿X-U-L及X-W-K，虚线与实线分别对应s光和p光。在面心立方结构中，不存在完全禁带的原因主要是在W、U点存在的对称性造成了频带的简并。如果能够改变晶格的对称性消除频带的简并，就有可能获得完全的禁带。对金刚石结构分析发现，取适当的介电常数比和填充比能够获得完全的禁带。图3.3-1（b）所示为一定参数的金刚石结构光子晶体的频带结构。可以看出，对一定频率的电磁波在布里渊区中都不存在对应的布洛赫波矢，从而形成禁带，并且是一个完全的禁带。

光子禁带的存在与否取决于光子晶体的结构和介电常数。通常光子晶体中介质间的介电常数相差越大，就越有可能出现光子禁带。几何形状也影响光子禁带的形成，通过改变光子晶体的对称结构也可以产生光子禁带。