1.1.5　基本初等函数与初等函数

有些函数，如y=3sin x+x2，和y=e-sin x，图像和性质都难以确定。但是仔细观察会发现，这些函数都是由sin x，x2，ex和常数等比较简单的函数构成的，了解这些简单函数的图像和性质有利于深入了解更复杂函数的性质。

定义1-5　我们把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这六大类简单的函数统称为基本初等函数。

1．常数函数

常数函数

的定义域为(-∞,+∞)，值域为单点集合{C}。函数图像为平行于x轴且截距为C的一条直线。如图1-4所示。

2．幂函数

幂函数

的定义域和图像随α的取值变化而变化，但都过点(1,1)。如图1-5所示。

当α>0时，y=xα的图像在区间(0,+∞)上单调递增；当α<0时，y=xα的图像在区间(0,+∞)上单调递减。

3．指数函数

指数函数

的图像位于x轴上方，定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,+∞)，且过点(0,1)。当a>1时，图像单调递增；当0<a<1时，图像单调递减。如图1-6所示。

4．对数函数

对数函数

的图像位于y轴右侧，定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)，且过点(1,0)。当a>1时，图像单调递增；当0<a<1时，图像单调递减。如图1-7所示。

5．三角函数

三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数六类。

正弦函数

的定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1, 1]，周期为2π，函数图像如图1-8所示。

余弦函数（图1-9）：

定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1, 1]，周期为2π，函数图像如图1-9所示。

正切函数

定义域为，值域为(-∞,+∞)，周期为π，函数图像在一个周期内单调递增。如图1-10所示。

余切函数

定义域为(kπ, π+kπ)(k∈Z)，周期为π，函数图像在一个周期内单调递减。如图1-11所示。

正割函数与余割函数也是两个经常使用的三角函数。

正割函数

余割函数

6．反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数。

反正弦函数

的定义域为[-1, 1]，值域为，函数图像在定义域内单调递增，如图1-12所示。

反余弦函数（图1-13）：

的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]，函数图像在定义域内单调递减，如图1-13所示。

反正切函数

的定义域为(-∞,+∞)，值域为，函数图像在定义域内单调递增，如图1-14所示。

反余切函数

的定义域为(-∞,+∞)，值域为(0, π)，函数图像在定义域内单调递减，如图1-15所示。

定义1-6　由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算构成的，且可以用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。

初等函数是高等数学的基本研究对象，，和y=x2e-x等都是初等函数。但不是初等函数。引入初等函数的概念后，对初等函数性质的研究可以转化为对基本初等函数性质的研究。